Subgroups — #34044

Order 256.

2703 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 199 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#117	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2311	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#2310	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2309	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2308	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2297	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#2280	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	C₂²×#41	—	2	16	no	—
10	C₂²×#41	C₄	1	16	yes	complemented
11	C₂²×#41	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×#41	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂⁴×C₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#117	—	2	16	no	—
19	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	complemented
22	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
24	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂²×C₄²	C₂²	1	4	yes	complemented
26	#391	C₂²	1	16	yes	complemented
27	#390	C₂²	1	16	yes	complemented
28	#386	C₂²	1	32	yes	complemented
29	#381	C₂²	1	8	yes	—
30	#380	C₂²	1	16	yes	complemented
31	#379	C₂²	1	8	yes	—
32	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	16	yes	complemented
33	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#41	—	2	128	no	—
36	C₂×#41	—	2	16	no	—
37	C₂×#41	—	2	16	no	—
38	C₂×#41	—	2	16	no	—
39	C₂×#41	—	2	16	no	—
40	C₂×#41	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
41	C₂×#41	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
42	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
43	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
44	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
46	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
47	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
48	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
49	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
50	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
52	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
53	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
54	C₂³×C₄	D₄	1	16	yes	—
55	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂³×C₄	C₂³	1	8	yes	—
59	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
63	#117	—	2	16	no	—
64	#117	—	2	16	no	—
65	#117	—	2	16	no	—
66	#117	—	2	16	no	—
67	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
68	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
70	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
72	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
73	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	32	yes	—
74	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
75	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
76	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
77	#95	C₂³	1	32	yes	—
78	C₂⁴	—	2	8	no	—
79	C₂⁴	—	4	4	no	—
80	C₂⁴	—	4	8	no	—
81	C₂⁴	C₂²×C₄	1	8	yes	—
82	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
83	C₂⁴	C₂×D₄	1	8	yes	—
84	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
85	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
86	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
87	#41	—	2	128	no	—
88	#41	—	2	128	no	—
89	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
90	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
91	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
92	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
93	C₂×D₄	—	2	64	no	—
94	C₂×D₄	—	2	16	no	—
95	C₂×D₄	—	2	16	no	—
96	C₂×D₄	—	2	32	no	—
97	C₂×D₄	—	2	8	no	—
98	C₂×D₄	—	2	8	no	—
99	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
100	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
101	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
102	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
103	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
104	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
105	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
106	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
107	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	64	yes	complemented
108	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
109	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
110	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
111	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
112	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
113	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
114	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
115	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
116	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
117	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
118	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
119	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
120	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
121	C₂²×C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
122	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
123	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
124	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
126	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
127	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
128	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
129	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
130	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
131	C₄²	—	2	16	no	—
132	C₄²	—	2	16	no	—
133	C₂³	—	2	8	no	—
134	C₂³	—	2	4	no	—
135	C₂³	—	2	16	no	—
136	C₂³	—	2	8	no	—
137	C₂³	—	2	16	no	—
138	C₂³	—	4	8	no	—
139	C₂³	—	4	16	no	—
140	C₂³	—	4	16	no	—
141	C₂³	—	4	32	no	—
142	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
143	C₂³	C₂³×C₄	1	8	yes	—
144	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
145	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
146	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
147	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
148	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
149	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
150	Q₈	—	2	32	no	—
151	D₄	—	2	64	no	—
152	D₄	—	2	32	no	—
153	C₂×C₄	—	2	16	no	—
154	C₂×C₄	—	2	8	no	—
155	C₂×C₄	—	2	32	no	—
156	C₂×C₄	—	2	32	no	—
157	C₂×C₄	—	2	16	no	—
158	C₂×C₄	—	2	32	no	—
159	C₂×C₄	—	4	32	no	—
160	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
161	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
162	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
163	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
164	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
165	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
168	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
169	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
170	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
171	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
172	C₂²	—	2	4	no	—
173	C₂²	—	2	8	no	—
174	C₂²	—	2	8	no	—
175	C₂²	—	2	8	no	—
176	C₂²	—	2	8	no	—
177	C₂²	—	2	8	no	—
178	C₂²	—	2	16	no	—
179	C₂²	—	4	16	no	—
180	C₂²	—	4	32	no	—
181	C₂²	—	4	16	no	—
182	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
183	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
184	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂²	C₂³×D₄	1	2	yes	—
186	C₂²	#585	1	4	yes	—
187	C₄	—	2	8	no	—
188	C₄	—	4	16	no	—
189	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
190	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
191	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
192	C₂	—	2	4	no	—
193	C₂	—	2	8	no	—
194	C₂	—	4	8	no	—
195	C₂	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂	#3428	1	2	yes	—
197	C₂	#3449	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂³×#41	C₂
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#117	C₂	semidirect
3. #2311	C₂	semidirect
4. #2310	C₂	semidirect
5. #2309	C₂	semidirect
6. #2308	C₂	semidirect
7. #2297	C₂	semidirect
8. #2280	C₂	semidirect
10. C₂²×#41	C₄	semidirect
21. C₂×#117	C₂²	semidirect
22. C₂×#117	C₂²	semidirect
23. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
25. C₂²×C₄²	C₂²	semidirect
26. #391	C₂²	semidirect
27. #390	C₂²	semidirect
28. #386	C₂²	semidirect
30. #380	C₂²	semidirect
32. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
40. C₂×#41	C₂×C₄	semidirect
41. C₂×#41	C₂×C₄	semidirect
43. C₂²×Q₈	C₂×C₄	semidirect
48. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
53. C₂³×C₄	C₂×C₄	semidirect
107. C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#41	2
C₂²×#117	2
#2311	2
#2310	2
#2309	2
#2308	2
#2297	2
#2280	2