Subgroups — C₂×#2317 #34051

Order 256.

1751 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 184 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂³×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#2317	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
5	C₂×#389	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂×#385	C₂	1	4	yes	maximal
7	C₂×#384	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#382	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂⁴×C₄	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#117	—	2	8	no	—
12	C₂×#117	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂×#117	C₂²	1	8	yes	—
14	C₂×#117	C₂²	1	8	yes	—
15	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
16	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
27	#389	C₂²	1	32	yes	complemented
28	#385	C₂²	1	32	yes	—
29	#384	C₂²	1	16	yes	complemented
30	#382	C₂²	1	16	yes	complemented
31	C₂×#95	C₂²	1	8	yes	—
32	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
34	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
35	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
36	C₂³×C₄	D₄	1	8	yes	—
37	C₂³×C₄	Q₈	1	8	yes	—
38	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂³×C₄	C₂³	1	8	yes	—
43	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	#117	—	2	32	no	—
47	#117	C₂×C₄	1	64	yes	complemented
48	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
49	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
50	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
51	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
54	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
55	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
56	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
57	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	32	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
61	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
62	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
63	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
64	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
65	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
66	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
67	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
68	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
69	#95	C₂³	1	32	yes	—
70	C₂⁴	—	2	4	no	—
71	C₂⁴	—	2	4	no	—
72	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
73	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
74	C₂⁴	C₂×Q₈	1	4	yes	—
75	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
76	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
78	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
79	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
80	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
81	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
82	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
83	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
84	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
85	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
86	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
87	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
88	C₂²×C₄	C₄⋊C₄	1	64	yes	complemented
89	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
90	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
91	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
92	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
93	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
94	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
95	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
96	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
97	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
98	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	16	yes	—
99	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
100	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
101	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
102	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
103	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
104	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
105	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
106	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
107	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
108	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
109	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
110	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	complemented
111	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
112	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
113	C₄²	—	2	16	no	—
114	C₄²	C₂²×C₄	1	32	yes	complemented
115	C₂³	—	2	16	no	—
116	C₂³	—	2	8	no	—
117	C₂³	—	2	8	no	—
118	C₂³	—	2	16	no	—
119	C₂³	—	2	4	no	—
120	C₂³	—	2	4	no	—
121	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
122	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
123	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
124	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
125	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
126	C₂³	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
127	C₂³	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
128	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
129	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
130	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄	—	2	32	no	—
132	C₂×C₄	—	2	8	no	—
133	C₂×C₄	—	2	8	no	—
134	C₂×C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄	—	2	8	no	—
137	C₂×C₄	—	2	8	no	—
138	C₂×C₄	—	2	16	no	—
139	C₂×C₄	—	2	8	no	—
140	C₂×C₄	—	4	32	no	—
141	C₂×C₄	—	4	8	no	—
142	C₂×C₄	—	4	16	no	—
143	C₂×C₄	—	4	8	no	—
144	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
145	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
146	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	64	yes	complemented
147	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	16	yes	—
148	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
149	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
150	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
151	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
152	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
153	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
154	C₂²	—	2	32	no	—
155	C₂²	—	2	8	no	—
156	C₂²	—	2	4	no	—
157	C₂²	—	2	4	no	—
158	C₂²	—	2	8	no	—
159	C₂²	C₂²×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
160	C₂²	C₂²×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
161	C₂²	#520	1	8	yes	—
162	C₂²	#535	1	4	yes	—
163	C₂²	#536	1	4	yes	—
164	C₂²	#544	1	8	yes	—
165	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
168	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
169	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
170	C₄	—	2	16	no	—
171	C₄	—	4	4	no	—
172	C₄	—	4	8	no	—
173	C₄	—	4	4	no	—
174	C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
175	C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
176	C₂	—	2	8	no	—
177	C₂	#2317	1	8	yes	direct product factor
178	C₂	C₂³×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂	C₂×#520	1	2	yes	—
180	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
181	C₂	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
182	C₂	C₂×#544	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂⁵	C₂³
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #2317	C₂	direct (N × H)
5. C₂×#389	C₂	semidirect
7. C₂×#384	C₂	semidirect
8. C₂×#382	C₂	semidirect
12. C₂×#117	C₄	semidirect
27. #389	C₂²	semidirect
29. #384	C₂²	semidirect
30. #382	C₂²	semidirect
47. #117	C₂×C₄	semidirect
54. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
66. C₂×C₄²	C₂×C₄	semidirect
88. C₂²×C₄	C₄⋊C₄	semidirect
110. C₄⋊C₄	C₂²×C₄	semidirect
114. C₄²	C₂²×C₄	semidirect
146. C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	semidirect
177. C₂	#2317	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#117	2
C₂³×C₄⋊C₄	2
#2317	2
C₂×#389	2
C₂×#385	2
C₂×#384	2
C₂×#382	2

Subgroups — C2×#2317 #34051

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#2317 #34051