Subgroups — #34052

Order 256.

1543 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 159 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#117	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂²×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#2317	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#2316	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2315	C₂	1	4	yes	maximal
6	#2296	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#2285	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#117	—	2	16	no	—
10	C₂×#117	C₄	1	16	yes	complemented
11	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₄²	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
23	#389	C₂²	1	32	yes	complemented
24	#385	C₂²	1	32	yes	—
25	#384	C₂²	1	8	yes	complemented
26	#382	C₂²	1	8	yes	complemented
27	#380	C₂²	1	16	yes	—
28	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	16	yes	complemented
29	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
30	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
31	C₂³×C₄	D₄	1	8	yes	—
32	C₂³×C₄	Q₈	1	8	yes	—
33	C₂³×C₄	C₂³	1	8	yes	—
34	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
39	#117	—	2	16	no	—
40	#117	—	2	16	no	—
41	#117	—	2	16	no	—
42	#117	—	2	16	no	—
43	#117	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
44	#117	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
45	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
46	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
47	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
48	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
49	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	32	yes	—
50	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
51	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
52	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
53	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
54	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
55	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
56	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
57	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
58	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
59	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
60	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
62	#95	C₂³	1	32	yes	—
63	C₂⁴	—	4	4	no	—
64	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
65	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
66	C₂⁴	C₂×Q₈	1	4	yes	—
67	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
68	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
70	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
71	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
72	C₂²×C₄	C₄⋊C₄	1	64	yes	complemented
73	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
74	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
76	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
77	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
78	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
79	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
80	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
81	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
82	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
83	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
84	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
85	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
86	C₂²×C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
87	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
88	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
90	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
91	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
92	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
93	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
94	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
95	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
96	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
97	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
98	C₄²	—	2	16	no	—
99	C₄²	—	2	16	no	—
100	C₄²	C₂²×C₄	1	16	yes	—
101	C₄²	C₂²×C₄	1	16	yes	—
102	C₂³	—	2	4	no	—
103	C₂³	—	2	8	no	—
104	C₂³	—	4	8	no	—
105	C₂³	—	4	8	no	—
106	C₂³	—	4	8	no	—
107	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
108	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
109	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
110	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
111	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
112	C₂³	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
113	C₂³	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
114	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₄	—	2	16	no	—
116	C₂×C₄	—	2	16	no	—
117	C₂×C₄	—	2	32	no	—
118	C₂×C₄	—	4	16	no	—
119	C₂×C₄	—	4	32	no	—
120	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
121	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
122	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	32	yes	—
123	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	32	yes	—
124	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	16	yes	—
125	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
126	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
127	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
128	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
129	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
130	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
131	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
132	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
133	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
134	C₂²	—	2	4	no	—
135	C₂²	—	2	8	no	—
136	C₂²	—	2	8	no	—
137	C₂²	—	2	4	no	—
138	C₂²	—	2	4	no	—
139	C₂²	—	2	8	no	—
140	C₂²	—	4	16	no	—
141	C₂²	C₂²×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
142	C₂²	C₂²×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
143	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
146	C₂²	#585	1	4	yes	—
147	C₄	—	2	16	no	—
148	C₄	—	4	16	no	—
149	C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
150	C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
151	C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
152	C₂	—	2	4	no	—
153	C₂	—	2	8	no	—
154	C₂	C₂³×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂	#3428	1	2	yes	—
156	C₂	#3449	1	2	yes	—
157	C₂	#3458	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂⁵	C₂³
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #2317	C₂	semidirect
4. #2316	C₂	semidirect
6. #2296	C₂	semidirect
7. #2285	C₂	semidirect
10. C₂×#117	C₄	semidirect
23. #389	C₂²	semidirect
25. #384	C₂²	semidirect
26. #382	C₂²	semidirect
28. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
43. #117	C₂×C₄	semidirect
44. #117	C₂×C₄	semidirect
46. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
57. C₂×C₄²	C₂×C₄	semidirect
72. C₂²×C₄	C₄⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#117	2
#2317	2
#2316	2
#2315	2
#2296	2
#2285	2