Subgroups — C₂×#2321 #34061

Order 256.

2547 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 336 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#120	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₄×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2321	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
5	C₂×#390	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#388	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×#388	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#386	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×#386	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#385	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#379	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂⁶	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
19	C₂×#120	C₄	1	16	yes	complemented
20	C₂×#120	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
22	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	8	yes	complemented
23	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
24	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
25	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
26	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
35	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
36	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
37	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
38	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#390	C₂²	1	16	yes	complemented
40	#388	C₂²	1	16	yes	complemented
41	#388	C₂²	1	16	yes	complemented
42	#386	C₂²	1	16	yes	complemented
43	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
44	#385	C₂²	1	8	yes	complemented
45	#379	C₂²	1	8	yes	complemented
46	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
47	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	complemented
48	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	complemented
49	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	complemented
50	C₂⁵	—	2	4	no	—
51	C₂⁵	—	2	4	no	—
52	C₂⁵	—	4	4	no	—
53	C₂⁵	—	4	4	no	—
54	C₂⁵	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
55	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂⁵	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
60	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
61	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
62	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
63	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
64	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
65	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
67	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
68	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
69	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
70	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
71	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
72	C₂³×C₄	D₄	1	8	yes	complemented
73	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	complemented
84	#120	C₂×C₄	1	64	yes	complemented
85	C₄×D₄	—	2	32	no	—
86	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
87	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
88	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	complemented
89	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	complemented
90	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
91	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
94	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
95	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
96	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
97	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
98	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
99	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
100	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
101	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
102	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
103	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
106	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	complemented
110	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	complemented
111	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
112	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
113	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	complemented
114	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	complemented
115	#95	C₂³	1	8	yes	complemented
116	#95	C₂³	1	8	yes	complemented
117	#95	C₂³	1	8	yes	complemented
118	C₂⁴	—	2	4	no	—
119	C₂⁴	—	2	4	no	—
120	C₂⁴	—	2	32	no	—
121	C₂⁴	—	2	4	no	—
122	C₂⁴	—	2	8	no	—
123	C₂⁴	—	2	2	no	—
124	C₂⁴	—	2	2	no	—
125	C₂⁴	—	2	4	no	—
126	C₂⁴	—	2	8	no	—
127	C₂⁴	—	2	4	no	—
128	C₂⁴	—	2	4	no	—
129	C₂⁴	—	2	4	no	—
130	C₂⁴	—	2	4	no	—
131	C₂⁴	—	2	4	no	—
132	C₂⁴	—	2	4	no	—
133	C₂⁴	—	4	32	no	—
134	C₂⁴	—	4	8	no	—
135	C₂⁴	—	4	8	no	—
136	C₂⁴	—	4	16	no	—
137	C₂⁴	—	4	16	no	—
138	C₂⁴	—	4	32	no	—
139	C₂⁴	C₂²×C₄	1	8	yes	—
140	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
141	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
142	C₂⁴	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
143	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
144	C₂⁴	#41	1	4	yes	—
145	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
146	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
147	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
148	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
149	C₂×D₄	—	2	32	no	—
150	C₂×D₄	—	2	8	no	—
151	C₂×D₄	—	2	8	no	—
152	C₂×D₄	—	4	32	no	—
153	C₂×D₄	—	4	8	no	—
154	C₂×D₄	—	4	8	no	—
155	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
156	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	32	yes	complemented
157	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
181	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
186	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
194	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
195	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
196	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
200	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
202	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
203	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
204	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	complemented
205	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
206	C₄²	—	2	8	no	—
207	C₄²	—	4	8	no	—
208	C₂³	—	2	16	no	—
209	C₂³	—	2	8	no	—
210	C₂³	—	2	8	no	—
211	C₂³	—	2	16	no	—
212	C₂³	—	2	4	no	—
213	C₂³	—	2	4	no	—
214	C₂³	—	2	8	no	—
215	C₂³	—	2	16	no	—
216	C₂³	—	2	32	no	—
217	C₂³	—	2	16	no	—
218	C₂³	—	2	16	no	—
219	C₂³	—	2	16	no	—
220	C₂³	—	2	4	no	—
221	C₂³	—	2	2	no	—
222	C₂³	—	2	2	no	—
223	C₂³	—	2	4	no	—
224	C₂³	—	2	4	no	—
225	C₂³	—	2	4	no	—
226	C₂³	—	2	4	no	—
227	C₂³	—	2	4	no	—
228	C₂³	—	2	4	no	—
229	C₂³	—	2	4	no	—
230	C₂³	—	4	32	no	—
231	C₂³	—	4	128	no	—
232	C₂³	—	4	16	no	—
233	C₂³	—	4	16	no	—
234	C₂³	—	4	32	no	—
235	C₂³	—	4	4	no	—
236	C₂³	—	4	8	no	—
237	C₂³	—	4	4	no	—
238	C₂³	—	4	8	no	—
239	C₂³	—	4	8	no	—
240	C₂³	—	4	8	no	—
241	C₂³	—	4	8	no	—
242	C₂³	C₄×D₄	1	16	yes	—
243	C₂³	C₂³×C₄	1	8	yes	—
244	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
245	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
246	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
247	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
248	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
249	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
250	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
251	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
252	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
253	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
254	D₄	—	2	32	no	—
255	D₄	—	4	32	no	—
256	C₂×C₄	—	2	8	no	—
257	C₂×C₄	—	2	16	no	—
258	C₂×C₄	—	2	8	no	—
259	C₂×C₄	—	2	8	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	4	16	no	—
277	C₂×C₄	—	4	16	no	—
278	C₂×C₄	—	4	16	no	—
279	C₂×C₄	—	4	4	no	—
280	C₂×C₄	—	4	4	no	—
281	C₂×C₄	—	4	8	no	—
282	C₂×C₄	—	4	8	no	—
283	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
284	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
285	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
286	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
287	C₂²	—	2	32	no	—
288	C₂²	—	2	8	no	—
289	C₂²	—	2	4	no	—
290	C₂²	—	2	4	no	—
291	C₂²	—	2	8	no	—
292	C₂²	—	2	4	no	—
293	C₂²	—	2	8	no	—
294	C₂²	—	2	8	no	—
295	C₂²	—	2	8	no	—
296	C₂²	—	2	8	no	—
297	C₂²	—	4	64	no	—
298	C₂²	—	4	16	no	—
299	C₂²	—	4	32	no	—
300	C₂²	—	4	2	no	—
301	C₂²	—	4	4	no	—
302	C₂²	—	4	2	no	—
303	C₂²	—	4	4	no	—
304	C₂²	—	4	4	no	—
305	C₂²	—	4	4	no	—
306	C₂²	—	4	4	no	—
307	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	8	yes	—
308	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
309	C₂²	#518	1	8	yes	—
310	C₂²	#534	1	4	yes	—
311	C₂²	#535	1	4	yes	—
312	C₂²	#538	1	8	yes	—
313	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
315	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
316	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
317	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
318	C₄	—	2	4	no	—
319	C₄	—	2	8	no	—
320	C₄	—	2	4	no	—
321	C₄	—	2	4	no	—
322	C₄	—	4	2	no	—
323	C₄	—	4	2	no	—
324	C₄	—	4	4	no	—
325	C₄	—	4	4	no	—
326	C₂	—	2	8	no	—
327	C₂	—	4	4	no	—
328	C₂	—	4	8	no	—
329	C₂	#2321	1	8	yes	direct product factor
330	C₂	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
331	C₂	C₂×#518	1	2	yes	—
332	C₂	C₂×#534	1	1	yes	characteristic
333	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
334	C₂	C₂×#538	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂²×#120	C₂
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×C₄×D₄	C₂	semidirect
3. C₂³×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
4. #2321	C₂	direct (N × H)
5. C₂×#390	C₂	semidirect
6. C₂×#388	C₂	semidirect
7. C₂×#388	C₂	semidirect
8. C₂×#386	C₂	semidirect
9. C₂×#386	C₂	semidirect
10. C₂×#385	C₂	semidirect
11. C₂×#379	C₂	semidirect
12. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
18. C₂⁴×C₄	C₂²	semidirect
19. C₂×#120	C₄	semidirect
22. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
23. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
24. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
34. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
35. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
36. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
37. C₂²×C₄²	C₂²	semidirect
38. C₂²×C₄²	C₂²	semidirect
39. #390	C₂²	semidirect
40. #388	C₂²	semidirect
41. #388	C₂²	semidirect
42. #386	C₂²	semidirect
43. #386	C₂²	semidirect
44. #385	C₂²	semidirect
45. #379	C₂²	semidirect
46. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
47. C₂×#95	C₂²	semidirect
48. C₂×#95	C₂²	semidirect
49. C₂×#95	C₂²	semidirect
54. C₂⁵	C₂×C₄	semidirect
64. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
72. C₂³×C₄	D₄	semidirect
83. C₂³×C₄	C₂³	semidirect
84. #120	C₂×C₄	semidirect
88. C₂×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
89. C₂×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
99. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
100. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
109. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
110. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
113. C₂×C₄²	C₂³	semidirect
114. C₂×C₄²	C₂³	semidirect
115. #95	C₂³	semidirect
116. #95	C₂³	semidirect
117. #95	C₂³	semidirect
142. C₂⁴	C₂²×C₄	semidirect
156. C₂×D₄	C₂²×C₄	semidirect
185. C₂²×C₄	C₂×D₄	semidirect
204. C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	semidirect
205. C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	semidirect
329. C₂	#2321	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#120	2
C₂²×C₄×D₄	2
C₂³×C₂²⋊C₄	2
#2321	2
C₂×#390	2
C₂×#388	2
C₂×#386	2
C₂×#385	2
C₂×#379	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₄	2

Subgroups — C2×#2321 #34061

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#2321 #34061