Subgroups — #34065

Order 256.

1567 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 303 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#525	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2324	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2323	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2322	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2321	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2297	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#2296	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#2293	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2290	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#2280	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#525	C₄	1	16	yes	complemented
17	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
21	C₄×#41	—	2	8	no	—
22	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
23	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂×#117	—	2	8	no	—
27	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
34	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#390	C₂²	1	8	yes	—
41	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#389	C₂²	1	8	yes	complemented
43	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#388	C₂²	1	8	yes	—
45	#388	C₂²	1	8	yes	—
46	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
47	#387	C₂²	1	8	yes	complemented
48	#386	C₂²	1	4	yes	—
49	#386	C₂²	1	8	yes	—
50	#385	C₂²	1	4	yes	—
51	#385	C₂²	1	8	yes	complemented
52	#381	C₂²	1	2	yes	—
53	#380	C₂²	1	4	yes	—
54	#379	C₂²	1	2	yes	—
55	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
56	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
57	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
58	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
59	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#376	C₂²	1	2	yes	complemented
61	C₄³	C₂²	1	2	yes	complemented
62	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×#41	—	2	4	no	—
64	C₂×#41	—	2	4	no	—
65	C₂×#41	C₂×C₄	1	8	yes	—
66	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
71	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
72	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
73	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	#123	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
82	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
83	#121	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
84	#120	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
85	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
86	C₄×D₄	—	2	16	no	—
87	C₄×D₄	—	2	8	no	—
88	C₄×D₄	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
89	#117	—	2	4	no	—
90	#117	—	2	4	no	—
91	#117	—	2	8	no	—
92	#117	—	2	8	no	—
93	#117	—	2	16	no	—
94	#117	—	2	8	no	—
95	#117	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
96	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
97	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
106	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
116	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
118	C₂×C₄²	D₄	1	8	yes	complemented
119	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
121	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
125	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
129	#95	C₂³	1	8	yes	—
130	#95	C₂³	1	8	yes	—
131	#95	C₂³	1	8	yes	—
132	#95	C₂³	1	8	yes	—
133	C₂⁴	—	2	2	no	—
134	C₂⁴	—	2	2	no	—
135	C₂⁴	—	4	4	no	—
136	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
137	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
138	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
139	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
140	#41	—	2	32	no	—
141	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
142	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
143	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
144	C₂×D₄	—	2	4	no	—
145	C₂×D₄	—	2	4	no	—
146	C₂×D₄	—	2	2	no	—
147	C₂×D₄	—	2	2	no	—
148	C₂×D₄	—	4	8	no	—
149	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
150	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
151	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
152	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
163	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
165	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
166	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
167	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
168	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
173	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
184	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
185	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
186	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
187	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
190	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
191	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
192	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
195	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
196	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
199	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
200	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
201	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
202	C₄²	—	2	4	no	—
203	C₄²	—	2	4	no	—
204	C₄²	—	2	4	no	—
205	C₄²	—	2	8	no	—
206	C₄²	—	2	4	no	—
207	C₄²	—	4	8	no	—
208	C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
209	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
210	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
211	C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
212	C₂³	—	2	4	no	—
213	C₂³	—	2	8	no	—
214	C₂³	—	2	2	no	—
215	C₂³	—	2	2	no	—
216	C₂³	—	2	2	no	—
217	C₂³	—	2	2	no	—
218	C₂³	—	2	4	no	—
219	C₂³	—	2	8	no	—
220	C₂³	—	2	4	no	—
221	C₂³	—	4	8	no	—
222	C₂³	—	4	8	no	—
223	C₂³	—	4	8	no	—
224	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
225	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
226	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
227	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
228	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
229	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
230	Q₈	—	2	8	no	—
231	D₄	—	2	16	no	—
232	D₄	—	2	8	no	—
233	D₄	—	4	16	no	—
234	C₂×C₄	—	2	8	no	—
235	C₂×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂×C₄	—	2	8	no	—
241	C₂×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂×C₄	—	2	16	no	—
243	C₂×C₄	—	2	16	no	—
244	C₂×C₄	—	2	16	no	—
245	C₂×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂×C₄	—	2	8	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	4	8	no	—
253	C₂×C₄	—	4	16	no	—
254	C₂×C₄	—	4	8	no	—
255	C₂×C₄	C₄×D₄	1	16	yes	—
256	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
257	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
258	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
259	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
260	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
261	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
262	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
263	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
264	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
265	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
266	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
267	C₂²	—	2	4	no	—
268	C₂²	—	2	4	no	—
269	C₂²	—	2	4	no	—
270	C₂²	—	2	4	no	—
271	C₂²	—	2	4	no	—
272	C₂²	—	2	4	no	—
273	C₂²	—	2	8	no	—
274	C₂²	—	2	4	no	—
275	C₂²	—	4	16	no	—
276	C₂²	—	4	4	no	—
277	C₂²	—	4	4	no	—
278	C₂²	—	4	4	no	—
279	C₂²	—	4	4	no	—
280	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
281	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
284	C₂²	#585	1	4	yes	—
285	C₄	—	2	4	no	—
286	C₄	—	2	4	no	—
287	C₄	—	2	8	no	—
288	C₄	—	2	4	no	—
289	C₄	—	2	4	no	—
290	C₄	—	4	4	no	—
291	C₄	—	4	4	no	—
292	C₄	—	4	4	no	—
293	C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
294	C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
295	C₂	—	2	4	no	—
296	C₂	—	4	4	no	—
297	C₂	—	4	4	no	—
298	C₂	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
299	C₂	#3428	1	2	yes	—
300	C₂	#3449	1	2	yes	—
301	C₂	#3455	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#525	C₂
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₄×#41	C₂	semidirect
3. C₂²×#117	C₂	semidirect
4. #2324	C₂	semidirect
5. #2323	C₂	semidirect
6. #2322	C₂	semidirect
7. #2321	C₂	semidirect
8. #2297	C₂	semidirect
9. #2296	C₂	semidirect
10. #2293	C₂	semidirect
11. #2290	C₂	semidirect
12. #2280	C₂	semidirect
13. C₄×#117	C₂	semidirect
16. #525	C₄	semidirect
22. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
25. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
33. C₂×#117	C₂²	semidirect
38. C₂²×C₄²	C₂²	semidirect
39. #391	C₂²	semidirect
41. #390	C₂²	semidirect
42. #389	C₂²	semidirect
43. #389	C₂²	semidirect
46. #388	C₂²	semidirect
47. #387	C₂²	semidirect
51. #385	C₂²	semidirect
55. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
56. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
59. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
60. #376	C₂²	semidirect
61. C₄³	C₂²	semidirect
72. C₂³×C₄	C₂×C₄	semidirect
81. #123	C₂×C₄	semidirect
82. C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
83. #121	C₂×C₄	semidirect
84. #120	C₂×C₄	semidirect
88. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
95. #117	C₂×C₄	semidirect
118. C₂×C₄²	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#525	2
C₂×C₄×#41	2
C₂²×#117	2
#2324	2
#2323	2
#2322	2
#2321	2
#2297	2
#2296	2
#2293	2
#2290	2
#2280	2
C₄×#117	2