Subgroups — C₂×D₄×C₂²⋊C₄ #34098

Order 256.

4387 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 272 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂⁴×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₄×D₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	D₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
5	C₂×#390	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#386	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂×#380	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#379	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂⁶	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂³×D₄	—	2	16	no	—
12	C₂³×D₄	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂³×D₄	C₂²	1	8	yes	—
14	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂⁴×C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
19	C₂×C₄×D₄	—	2	16	no	—
20	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	16	yes	complemented
21	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
22	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
23	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	16	yes	complemented
27	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
28	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
29	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
30	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	complemented
31	#390	C₂²	1	16	yes	complemented
32	#386	C₂²	1	32	yes	complemented
33	#380	C₂²	1	8	yes	complemented
34	#379	C₂²	1	16	yes	complemented
35	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
36	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	complemented
37	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	complemented
38	C₂⁵	—	2	8	no	—
39	C₂⁵	—	2	16	no	—
40	C₂⁵	—	2	8	no	—
41	C₂⁵	—	4	8	no	—
42	C₂⁵	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
43	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂⁵	C₂³	1	8	yes	—
45	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
48	C₂²×D₄	—	2	128	no	—
49	C₂²×D₄	—	2	64	no	—
50	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
51	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
52	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
53	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
54	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	64	yes	complemented
55	C₂²×D₄	D₄	1	16	yes	—
56	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
57	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
60	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
61	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
62	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
63	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
64	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂³×C₄	C₂³	1	16	yes	complemented
71	C₄×D₄	—	2	64	no	—
72	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
73	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	complemented
74	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
80	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	8	yes	direct product factor
81	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
82	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	complemented
85	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	complemented
86	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	complemented
87	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
88	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	complemented
89	#95	C₂³	1	8	yes	complemented
90	#95	C₂³	1	8	yes	complemented
91	C₂⁴	—	2	4	no	—
92	C₂⁴	—	2	4	no	—
93	C₂⁴	—	2	4	no	—
94	C₂⁴	—	2	8	no	—
95	C₂⁴	—	2	4	no	—
96	C₂⁴	—	2	64	no	—
97	C₂⁴	—	2	64	no	—
98	C₂⁴	—	2	16	no	—
99	C₂⁴	—	2	4	no	—
100	C₂⁴	—	2	32	no	—
101	C₂⁴	—	2	8	no	—
102	C₂⁴	—	2	16	no	—
103	C₂⁴	—	2	4	no	—
104	C₂⁴	—	2	8	no	—
105	C₂⁴	—	4	32	no	—
106	C₂⁴	—	4	16	no	—
107	C₂⁴	—	4	64	no	—
108	C₂⁴	—	4	64	no	—
109	C₂⁴	C₂²×C₄	1	8	yes	—
110	C₂⁴	C₂²×C₄	1	8	yes	—
111	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
112	C₂⁴	C₂²×C₄	1	32	yes	complemented
113	C₂⁴	C₂×D₄	1	16	yes	—
114	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
115	C₂⁴	#41	1	4	yes	—
116	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
117	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
118	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
119	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
120	C₂×D₄	—	2	64	no	—
121	C₂×D₄	—	2	32	no	—
122	C₂×D₄	—	2	256	no	—
123	C₂×D₄	—	2	32	no	—
124	C₂×D₄	—	2	16	no	—
125	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	64	yes	direct product factor
126	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
127	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	32	yes	complemented
128	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
129	C₂×D₄	C₂×D₄	1	32	yes	—
130	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
143	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
144	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
145	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
146	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
147	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
148	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
149	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
150	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
151	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
152	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
153	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
154	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
155	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
156	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
157	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
158	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
159	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
160	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
161	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	direct product factor
162	C₄²	—	2	16	no	—
163	C₂³	—	2	8	no	—
164	C₂³	—	2	16	no	—
165	C₂³	—	2	8	no	—
166	C₂³	—	2	16	no	—
167	C₂³	—	2	32	no	—
168	C₂³	—	2	16	no	—
169	C₂³	—	2	16	no	—
170	C₂³	—	2	32	no	—
171	C₂³	—	2	4	no	—
172	C₂³	—	2	4	no	—
173	C₂³	—	2	4	no	—
174	C₂³	—	2	8	no	—
175	C₂³	—	2	4	no	—
176	C₂³	—	2	16	no	—
177	C₂³	—	2	64	no	—
178	C₂³	—	2	16	no	—
179	C₂³	—	2	64	no	—
180	C₂³	—	2	16	no	—
181	C₂³	—	2	4	no	—
182	C₂³	—	2	8	no	—
183	C₂³	—	2	4	no	—
184	C₂³	—	2	8	no	—
185	C₂³	—	4	32	no	—
186	C₂³	—	4	256	no	—
187	C₂³	—	4	64	no	—
188	C₂³	—	4	64	no	—
189	C₂³	—	4	16	no	—
190	C₂³	—	4	16	no	—
191	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	complemented
192	C₂³	C₄×D₄	1	16	yes	complemented
193	C₂³	C₂³×C₄	1	8	yes	—
194	C₂³	C₂³×C₄	1	8	yes	—
195	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
196	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
197	C₂³	C₂²×D₄	1	16	yes	—
198	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
199	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
200	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
201	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
202	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
203	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
204	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
205	D₄	—	2	64	no	—
206	D₄	—	2	32	no	—
207	D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	64	yes	direct product factor
208	C₂×C₄	—	2	8	no	—
209	C₂×C₄	—	2	16	no	—
210	C₂×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂×C₄	—	2	32	no	—
214	C₂×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂×C₄	—	2	8	no	—
216	C₂×C₄	—	2	8	no	—
217	C₂×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂×C₄	—	2	8	no	—
220	C₂×C₄	—	4	64	no	—
221	C₂×C₄	—	4	16	no	—
222	C₂×C₄	—	4	8	no	—
223	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
224	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
225	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
226	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
227	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	complemented
228	C₂²	—	2	32	no	—
229	C₂²	—	2	64	no	—
230	C₂²	—	2	4	no	—
231	C₂²	—	2	8	no	—
232	C₂²	—	2	4	no	—
233	C₂²	—	2	8	no	—
234	C₂²	—	2	16	no	—
235	C₂²	—	2	8	no	—
236	C₂²	—	2	8	no	—
237	C₂²	—	2	16	no	—
238	C₂²	—	2	8	no	—
239	C₂²	—	2	8	no	—
240	C₂²	—	2	8	no	—
241	C₂²	—	4	128	no	—
242	C₂²	—	4	32	no	—
243	C₂²	—	4	8	no	—
244	C₂²	—	4	8	no	—
245	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
246	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
247	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
248	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	8	yes	complemented
249	C₂²	#518	1	4	yes	—
250	C₂²	D₄²	1	8	yes	—
251	C₂²	#546	1	8	yes	—
252	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²	C₂³×D₄	1	2	yes	—
254	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
256	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
257	C₄	—	2	4	no	—
258	C₄	—	2	8	no	—
259	C₄	—	4	8	no	—
260	C₄	—	4	4	no	—
261	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	complemented
262	C₂	—	2	8	no	—
263	C₂	—	2	16	no	—
264	C₂	—	4	8	no	—
265	C₂	D₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	direct product factor
266	C₂	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
269	C₂	C₂×D₄²	1	2	yes	—
270	C₂	C₂×#546	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂⁴×D₄	C₂
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×C₄×D₄	C₂	semidirect
3. C₂³×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
4. D₄×C₂²⋊C₄	C₂	direct (N × H)
5. C₂×#390	C₂	semidirect
6. C₂×#386	C₂	semidirect
7. C₂×#380	C₂	semidirect
8. C₂×#379	C₂	semidirect
9. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
12. C₂³×D₄	C₄	semidirect
18. C₂⁴×C₄	C₂²	semidirect
20. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
21. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
26. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
27. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
28. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
29. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
30. C₂²×C₄²	C₂²	semidirect
31. #390	C₂²	semidirect
32. #386	C₂²	semidirect
33. #380	C₂²	semidirect
34. #379	C₂²	semidirect
35. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
36. C₂×#95	C₂²	semidirect
37. C₂×#95	C₂²	semidirect
42. C₂⁵	C₂×C₄	semidirect
52. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
53. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
54. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
63. C₂³×C₄	C₂×C₄	semidirect
70. C₂³×C₄	C₂³	semidirect
73. C₂×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
80. C₂×C₂²⋊C₄	D₄	direct (N × H)
84. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
85. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
86. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
88. C₂×C₄²	C₂³	semidirect
89. #95	C₂³	semidirect
90. #95	C₂³	semidirect
112. C₂⁴	C₂²×C₄	semidirect
125. C₂×D₄	C₂²⋊C₄	direct (N × H)
127. C₂×D₄	C₂²×C₄	semidirect
128. C₂×D₄	C₂²×C₄	semidirect
147. C₂²×C₄	C₂²×C₄	semidirect
149. C₂²×C₄	C₂×D₄	semidirect
161. C₂²⋊C₄	C₂×D₄	direct (N × H)
191. C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	semidirect
192. C₂³	C₄×D₄	semidirect
207. D₄	C₂×C₂²⋊C₄	direct (N × H)
223. C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	semidirect
227. C₂×C₄	C₂²×D₄	semidirect
246. C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	semidirect
248. C₂²	C₂×C₄×D₄	semidirect
261. C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	semidirect
265. C₂	D₄×C₂²⋊C₄	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂⁴×D₄	2
C₂²×C₄×D₄	2
C₂³×C₂²⋊C₄	2
D₄×C₂²⋊C₄	2
C₂×#390	2
C₂×#386	2
C₂×#380	2
C₂×#379	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₄	2

Subgroups — C2×D4×C22⋊C4 #34098

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×D₄×C₂²⋊C₄ #34098