Subgroups — C₂×#2352 #34115

Order 256.

1947 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 322 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂³×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2352	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
5	C₂×#388	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#387	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×#386	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂×#382	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#380	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#380	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂⁴×C₄	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄×D₄	C₄	1	16	yes	complemented
18	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	8	yes	—
19	C₂×#117	—	2	8	no	—
20	C₂×#117	C₂²	1	8	yes	complemented
21	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
22	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
29	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#388	C₂²	1	16	yes	complemented
38	#387	C₂²	1	16	yes	complemented
39	#386	C₂²	1	16	yes	—
40	#382	C₂²	1	8	yes	complemented
41	#380	C₂²	1	8	yes	complemented
42	#380	C₂²	1	8	yes	complemented
43	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
44	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	16	yes	complemented
45	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
49	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
50	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
53	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
54	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
55	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
57	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
58	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
59	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
60	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
61	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
62	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
63	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
64	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
65	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂³×C₄	C₂³	1	8	yes	—
69	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₄×D₄	C₂×C₄	1	64	yes	complemented
78	#117	—	2	32	no	—
79	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
80	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
82	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
83	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
84	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
85	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	complemented
86	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
88	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
94	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
95	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
96	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
97	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
98	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
99	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
100	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
103	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
104	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
105	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
106	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
107	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
108	#95	C₂³	1	8	yes	—
109	#95	C₂³	1	8	yes	—
110	#95	C₂³	1	8	yes	—
111	#95	C₂³	1	8	yes	—
112	#95	C₂³	1	8	yes	—
113	C₂⁴	—	2	2	no	—
114	C₂⁴	—	2	2	no	—
115	C₂⁴	—	2	2	no	—
116	C₂⁴	—	2	2	no	—
117	C₂⁴	—	2	2	no	—
118	C₂⁴	—	2	2	no	—
119	C₂⁴	—	2	2	no	—
120	C₂⁴	—	2	2	no	—
121	C₂⁴	—	2	2	no	—
122	C₂⁴	—	2	2	no	—
123	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
124	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
125	C₂⁴	#41	1	4	yes	—
126	C₂⁴	#41	1	4	yes	—
127	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
128	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
129	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
130	C₂×D₄	—	2	32	no	—
131	C₂×D₄	—	2	8	no	—
132	C₂×D₄	—	2	8	no	—
133	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
134	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
161	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
162	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
163	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
164	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
165	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
167	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
168	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
170	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
172	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
182	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
183	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
184	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
185	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
186	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
187	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
188	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
189	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
190	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
191	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
192	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
193	C₄²	—	2	16	no	—
194	C₄²	—	4	8	no	—
195	C₄²	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
196	C₂³	—	2	8	no	—
197	C₂³	—	2	8	no	—
198	C₂³	—	2	8	no	—
199	C₂³	—	2	8	no	—
200	C₂³	—	2	8	no	—
201	C₂³	—	2	8	no	—
202	C₂³	—	2	2	no	—
203	C₂³	—	2	2	no	—
204	C₂³	—	2	2	no	—
205	C₂³	—	2	2	no	—
206	C₂³	—	2	8	no	—
207	C₂³	—	2	8	no	—
208	C₂³	—	2	8	no	—
209	C₂³	—	2	2	no	—
210	C₂³	—	2	2	no	—
211	C₂³	—	2	2	no	—
212	C₂³	—	2	2	no	—
213	C₂³	—	2	2	no	—
214	C₂³	—	2	2	no	—
215	C₂³	—	4	4	no	—
216	C₂³	—	4	4	no	—
217	C₂³	—	4	4	no	—
218	C₂³	—	4	4	no	—
219	C₂³	#117	1	16	yes	complemented
220	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
221	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
222	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
223	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
224	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
225	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
226	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
227	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
228	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
229	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
230	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
231	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
232	D₄	—	2	32	no	—
233	C₂×C₄	—	2	8	no	—
234	C₂×C₄	—	2	8	no	—
235	C₂×C₄	—	2	8	no	—
236	C₂×C₄	—	2	8	no	—
237	C₂×C₄	—	2	16	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂×C₄	—	2	32	no	—
249	C₂×C₄	—	2	32	no	—
250	C₂×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂×C₄	—	4	32	no	—
260	C₂×C₄	—	4	8	no	—
261	C₂×C₄	—	4	8	no	—
262	C₂×C₄	—	4	8	no	—
263	C₂×C₄	C₄×D₄	1	16	yes	—
264	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
265	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
266	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
267	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
268	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
269	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
270	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
271	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
272	C₂²	—	2	32	no	—
273	C₂²	—	2	4	no	—
274	C₂²	—	2	4	no	—
275	C₂²	—	2	4	no	—
276	C₂²	—	2	4	no	—
277	C₂²	—	2	4	no	—
278	C₂²	—	2	4	no	—
279	C₂²	—	2	4	no	—
280	C₂²	—	2	4	no	—
281	C₂²	—	2	4	no	—
282	C₂²	—	4	16	no	—
283	C₂²	—	4	2	no	—
284	C₂²	—	4	2	no	—
285	C₂²	—	4	2	no	—
286	C₂²	—	4	2	no	—
287	C₂²	C₂×#117	1	4	yes	—
288	C₂²	C₂×#117	1	8	yes	complemented
289	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
290	C₂²	#520	1	4	yes	—
291	C₂²	#546	1	4	yes	—
292	C₂²	#548	1	4	yes	—
293	C₂²	#552	1	4	yes	—
294	C₂²	#553	1	4	yes	—
295	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
297	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
298	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
299	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
300	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
301	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
302	C₄	—	2	4	no	—
303	C₄	—	2	4	no	—
304	C₄	—	2	4	no	—
305	C₄	—	2	4	no	—
306	C₄	—	2	8	no	—
307	C₄	—	4	4	no	—
308	C₄	—	4	4	no	—
309	C₄	—	4	4	no	—
310	C₄	C₂×C₄×D₄	1	8	yes	—
311	C₂	—	2	8	no	—
312	C₂	—	4	4	no	—
313	C₂	#2352	1	8	yes	direct product factor
314	C₂	C₂²×#117	1	1	yes	characteristic
315	C₂	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
316	C₂	C₂×#520	1	1	yes	characteristic
317	C₂	C₂×#546	1	1	yes	characteristic
318	C₂	C₂×#548	1	1	yes	characteristic
319	C₂	C₂×#552	1	1	yes	characteristic
320	C₂	C₂×#553	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂³×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#117	C₂	semidirect
3. C₂³×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
4. #2352	C₂	direct (N × H)
5. C₂×#388	C₂	semidirect
6. C₂×#387	C₂	semidirect
8. C₂×#382	C₂	semidirect
9. C₂×#380	C₂	semidirect
10. C₂×#380	C₂	semidirect
11. C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
12. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
17. C₂×C₄×D₄	C₄	semidirect
20. C₂×#117	C₂²	semidirect
28. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
37. #388	C₂²	semidirect
38. #387	C₂²	semidirect
40. #382	C₂²	semidirect
41. #380	C₂²	semidirect
42. #380	C₂²	semidirect
43. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
44. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
64. C₂³×C₄	C₂×C₄	semidirect
77. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
84. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
85. C₂×C₄⋊C₄	D₄	semidirect
96. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
104. C₂×C₄²	C₂×C₄	semidirect
169. C₂²×C₄	C₂²×C₄	semidirect
186. C₄⋊C₄	C₂²×C₄	semidirect
187. C₄⋊C₄	C₂×D₄	semidirect
192. C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	semidirect
195. C₄²	C₂²×C₄	semidirect
219. C₂³	#117	semidirect
288. C₂²	C₂×#117	semidirect
313. C₂	#2352	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×D₄	2
C₂²×#117	2
C₂³×C₄⋊C₄	2
#2352	2
C₂×#388	2
C₂×#387	2
C₂×#386	2
C₂×#382	2
C₂×#380	2
C₂×C₄×C₄⋊C₄	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₄	2

Subgroups — C2×#2352 #34115

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#2352 #34115