Subgroups — #34128

Order 256.

1223 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 158 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2356	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
3	#2351	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2344	C₂	1	6	yes	maximal
5	Q₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal
6	#2295	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
7	#2283	C₂	1	3	yes	maximal
8	C₄²×Q₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₄×#117	C₂	1	3	yes	maximal
10	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×Q₈	C₄	1	16	yes	complemented
12	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	3	yes	—
15	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	3	yes	—
17	C₂×#117	C₂²	1	6	yes	—
18	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
19	C₂²×C₄²	C₂²	1	3	yes	—
20	#391	C₂²	1	12	yes	—
21	#389	C₂²	1	12	yes	—
22	#387	C₂²	1	24	yes	—
23	#383	C₂²	1	6	yes	—
24	#382	C₂²	1	6	yes	—
25	#381	C₂²	1	6	yes	—
26	#380	C₂²	1	6	yes	—
27	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	12	yes	—
28	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
29	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
30	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
31	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
32	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
34	#376	C₂²	1	6	yes	—
35	#376	C₂²	1	6	yes	—
36	C₄³	C₂²	1	6	yes	—
37	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
38	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
39	C₂²×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
40	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₄	C₂³	1	3	yes	—
42	C₂³×C₄	C₂³	1	3	yes	—
43	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
45	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	24	yes	—
46	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	24	yes	—
47	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
48	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
49	#117	—	2	24	no	—
50	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	24	yes	—
51	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
52	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
53	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
54	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
55	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
56	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
57	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	24	yes	—
59	C₂×C₄²	C₂³	1	12	yes	—
60	C₂×C₄²	C₂³	1	12	yes	—
61	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
63	C₂×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
64	C₂×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
65	C₂×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
66	C₂×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
67	#95	C₂³	1	2	yes	—
68	#95	C₂³	1	6	yes	—
69	#95	C₂³	1	12	yes	—
70	#95	C₂³	1	12	yes	—
71	#95	C₂³	1	12	yes	—
72	#95	C₂³	1	12	yes	—
73	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
74	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
75	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
76	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
77	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
78	C₂×Q₈	#41	1	8	yes	—
79	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
80	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
81	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
82	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
83	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
84	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
85	C₂²×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
86	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
88	C₂²×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
89	C₂²×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
90	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
91	C₂²×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
92	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
93	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
94	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
95	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
96	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
97	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
98	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
99	C₂²⋊C₄	#41	1	8	yes	—
100	C₄²	—	2	24	no	—
101	C₄²	—	2	24	no	—
102	C₄²	—	2	4	no	—
103	C₄²	—	2	12	no	—
104	C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
105	C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
106	C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
107	C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
108	C₂³	—	2	2	no	—
109	C₂³	—	2	2	no	—
110	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
111	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
112	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
113	Q₈	—	2	24	no	—
114	Q₈	#117	1	16	yes	complemented
115	C₂×C₄	—	2	24	no	—
116	C₂×C₄	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄	—	2	6	no	—
118	C₂×C₄	—	2	6	no	—
119	C₂×C₄	—	2	6	no	—
120	C₂×C₄	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄	—	2	24	no	—
123	C₂×C₄	—	2	8	no	—
124	C₂×C₄	—	2	12	no	—
125	C₂×C₄	—	2	12	no	—
126	C₂×C₄	—	2	12	no	—
127	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
128	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
129	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
130	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
131	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
132	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
134	C₂×C₄	C₂×#41	1	12	yes	—
135	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
136	C₂²	—	2	2	no	—
137	C₂²	—	2	2	no	—
138	C₂²	—	2	8	no	—
139	C₂²	C₄×#41	1	4	yes	—
140	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
142	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
143	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
144	C₄	—	2	6	no	—
145	C₄	—	2	6	no	—
146	C₄	—	2	6	no	—
147	C₄	—	2	2	no	—
148	C₄	—	2	8	no	—
149	C₄	—	4	12	no	—
150	C₄	C₂×#117	1	12	yes	—
151	C₄	#519	1	4	yes	—
152	C₂	—	2	4	no	—
153	C₂	C₂²×#117	1	1	yes	characteristic
154	C₂	C₂×C₄×#41	1	1	yes	characteristic
155	C₂	C₂×#519	1	1	yes	characteristic
156	C₂	#3482	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂⁴	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2356	C₂	semidirect
3. #2351	C₂	semidirect
6. #2295	C₂	semidirect
8. C₄²×Q₈	C₂	semidirect
11. C₂×C₄×Q₈	C₄	semidirect
114. Q₈	#117	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×Q₈	2
#2356	2
#2351	2
#2344	2
Q₈×C₂²⋊C₄	2
#2295	2
#2283	2
C₄²×Q₈	2
C₄×#117	2