Subgroups — C₂×#2361 #34133

Order 256.

2391 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 332 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₄×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×C₄×D₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂³×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2361	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
6	C₂×#390	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×#389	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#388	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×#386	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂×#385	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂⁴×C₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂⁴×C₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#121	C₄	1	16	yes	complemented
19	C₂×#121	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
21	C₂×C₄×D₄	—	2	16	no	—
22	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	8	yes	complemented
23	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	16	yes	complemented
24	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
25	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
31	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#390	C₂²	1	8	yes	complemented
41	#389	C₂²	1	8	yes	complemented
42	#388	C₂²	1	16	yes	complemented
43	#386	C₂²	1	16	yes	complemented
44	#385	C₂²	1	16	yes	complemented
45	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
46	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
47	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
50	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
51	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
54	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
55	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
56	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
57	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
58	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
59	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
60	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
62	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
63	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
64	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
65	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
66	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
67	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
68	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
69	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
70	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂³×C₄	C₂³	1	8	yes	—
74	C₂³×C₄	C₂³	1	8	yes	—
75	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	#121	C₂×C₄	1	64	yes	complemented
83	C₄×D₄	—	2	32	no	—
84	C₄×D₄	—	2	64	no	—
85	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
86	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
87	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
88	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
89	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
90	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	complemented
91	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
92	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
94	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
97	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
98	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
99	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
100	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
101	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	8	yes	complemented
102	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
103	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
106	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
109	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
110	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
111	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
112	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
113	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
114	#95	C₂³	1	4	yes	—
115	#95	C₂³	1	4	yes	—
116	#95	C₂³	1	8	yes	—
117	#95	C₂³	1	8	yes	—
118	C₂⁴	—	2	2	no	—
119	C₂⁴	—	2	2	no	—
120	C₂⁴	—	2	2	no	—
121	C₂⁴	—	2	2	no	—
122	C₂⁴	—	2	4	no	—
123	C₂⁴	—	2	4	no	—
124	C₂⁴	—	2	4	no	—
125	C₂⁴	—	2	4	no	—
126	C₂⁴	—	2	4	no	—
127	C₂⁴	—	2	4	no	—
128	C₂⁴	C₂²×C₄	1	8	yes	—
129	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
130	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
131	C₂⁴	#41	1	4	yes	—
132	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
133	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
134	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
135	C₂×D₄	—	2	64	no	—
136	C₂×D₄	—	2	16	no	—
137	C₂×D₄	—	2	16	no	—
138	C₂×D₄	—	2	32	no	—
139	C₂×D₄	—	2	8	no	—
140	C₂×D₄	—	2	8	no	—
141	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	32	yes	complemented
142	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
143	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
169	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
173	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
177	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
191	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
192	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
193	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
194	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
195	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
196	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
200	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	complemented
201	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
202	C₄²	—	2	16	no	—
203	C₄²	—	2	8	no	—
204	C₄²	—	2	8	no	—
205	C₂³	—	2	8	no	—
206	C₂³	—	2	8	no	—
207	C₂³	—	2	8	no	—
208	C₂³	—	2	8	no	—
209	C₂³	—	2	8	no	—
210	C₂³	—	2	8	no	—
211	C₂³	—	2	2	no	—
212	C₂³	—	2	2	no	—
213	C₂³	—	2	2	no	—
214	C₂³	—	2	2	no	—
215	C₂³	—	2	16	no	—
216	C₂³	—	2	16	no	—
217	C₂³	—	2	16	no	—
218	C₂³	—	2	4	no	—
219	C₂³	—	2	4	no	—
220	C₂³	—	2	4	no	—
221	C₂³	—	2	4	no	—
222	C₂³	—	2	4	no	—
223	C₂³	—	2	4	no	—
224	C₂³	—	4	8	no	—
225	C₂³	—	4	8	no	—
226	C₂³	—	4	8	no	—
227	C₂³	—	4	8	no	—
228	C₂³	C₄×D₄	1	16	yes	complemented
229	C₂³	C₂³×C₄	1	8	yes	—
230	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
231	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
232	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
233	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
234	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
235	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
236	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
237	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
238	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
239	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
240	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
241	D₄	—	2	64	no	—
242	D₄	—	2	32	no	—
243	C₂×C₄	—	2	8	no	—
244	C₂×C₄	—	2	16	no	—
245	C₂×C₄	—	2	8	no	—
246	C₂×C₄	—	2	16	no	—
247	C₂×C₄	—	2	8	no	—
248	C₂×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	32	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	4	32	no	—
269	C₂×C₄	—	4	32	no	—
270	C₂×C₄	—	4	8	no	—
271	C₂×C₄	—	4	4	no	—
272	C₂×C₄	—	4	4	no	—
273	C₂×C₄	C₄×D₄	1	16	yes	complemented
274	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
275	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
276	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
277	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
278	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
279	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
280	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
281	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
282	C₂²	—	2	32	no	—
283	C₂²	—	2	4	no	—
284	C₂²	—	2	4	no	—
285	C₂²	—	2	4	no	—
286	C₂²	—	2	4	no	—
287	C₂²	—	2	4	no	—
288	C₂²	—	2	4	no	—
289	C₂²	—	2	8	no	—
290	C₂²	—	2	8	no	—
291	C₂²	—	2	8	no	—
292	C₂²	—	4	32	no	—
293	C₂²	—	4	4	no	—
294	C₂²	—	4	4	no	—
295	C₂²	—	4	4	no	—
296	C₂²	—	4	4	no	—
297	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
298	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
299	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	8	yes	complemented
300	C₂²	#520	1	4	yes	—
301	C₂²	D₄²	1	4	yes	—
302	C₂²	#547	1	4	yes	—
303	C₂²	#548	1	4	yes	—
304	C₂²	#553	1	4	yes	—
305	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
306	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
308	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
309	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
312	C₄	—	2	4	no	—
313	C₄	—	2	8	no	—
314	C₄	—	2	4	no	—
315	C₄	—	2	8	no	—
316	C₄	—	2	4	no	—
317	C₄	—	4	4	no	—
318	C₄	—	4	2	no	—
319	C₄	—	4	2	no	—
320	C₄	C₂×C₄×D₄	1	8	yes	complemented
321	C₂	—	2	8	no	—
322	C₂	—	4	8	no	—
323	C₂	#2361	1	8	yes	direct product factor
324	C₂	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
325	C₂	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₂	C₂×#520	1	1	yes	characteristic
327	C₂	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
328	C₂	C₂×#547	1	1	yes	characteristic
329	C₂	C₂×#548	1	1	yes	characteristic
330	C₂	C₂×#553	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂²×#121	C₂
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×C₄×D₄	C₂	semidirect
3. C₂²×C₄×D₄	C₂	semidirect
4. C₂³×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
5. #2361	C₂	direct (N × H)
6. C₂×#390	C₂	semidirect
7. C₂×#389	C₂	semidirect
8. C₂×#388	C₂	semidirect
9. C₂×#386	C₂	semidirect
10. C₂×#385	C₂	semidirect
11. C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
12. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
18. C₂×#121	C₄	semidirect
22. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
23. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
30. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
40. #390	C₂²	semidirect
41. #389	C₂²	semidirect
42. #388	C₂²	semidirect
43. #386	C₂²	semidirect
44. #385	C₂²	semidirect
45. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
46. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
57. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
58. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
69. C₂³×C₄	C₂×C₄	semidirect
82. #121	C₂×C₄	semidirect
89. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
90. C₂×C₄⋊C₄	D₄	semidirect
100. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
101. C₂×C₂²⋊C₄	D₄	semidirect
141. C₂×D₄	C₂²×C₄	semidirect
142. C₂×D₄	C₂²×C₄	semidirect
176. C₂²×C₄	C₂²×C₄	semidirect
194. C₄⋊C₄	C₂²×C₄	semidirect
195. C₄⋊C₄	C₂×D₄	semidirect
200. C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	semidirect
201. C₂²⋊C₄	C₂×D₄	semidirect
228. C₂³	C₄×D₄	semidirect
273. C₂×C₄	C₄×D₄	semidirect
299. C₂²	C₂×C₄×D₄	semidirect
320. C₄	C₂×C₄×D₄	semidirect
323. C₂	#2361	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#121	2
C₂²×C₄×D₄	2
C₂³×C₄⋊C₄	2
#2361	2
C₂×#390	2
C₂×#389	2
C₂×#388	2
C₂×#386	2
C₂×#385	2
C₂×C₄×C₄⋊C₄	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₄	2

Subgroups — C2×#2361 #34133

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#2361 #34133