Subgroups — C₂×#2367 #34140

Order 256.

1839 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 294 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₄×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×C₄×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#2367	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
5	C₂×#391	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#390	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂×#388	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#388	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×#385	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂⁴×C₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#124	C₄	1	16	yes	complemented
17	C₂×#124	C₂²	1	8	yes	—
18	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
19	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	8	yes	complemented
20	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
21	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#391	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#390	C₂²	1	8	yes	—
39	#388	C₂²	1	16	yes	complemented
40	#388	C₂²	1	16	yes	complemented
41	#385	C₂²	1	16	yes	complemented
42	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
43	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
44	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	16	yes	complemented
45	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
50	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
52	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
53	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
54	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
56	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
57	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
58	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
60	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
61	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
62	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂³×C₄	C₂³	1	8	yes	—
66	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	#124	C₂×C₄	1	64	yes	complemented
74	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
75	C₄×D₄	—	2	32	no	—
76	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
77	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
78	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
79	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
80	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
90	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
91	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
94	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
95	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
96	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
97	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
98	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
99	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
100	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
101	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
103	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
105	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
106	#95	C₂³	1	4	yes	—
107	#95	C₂³	1	8	yes	—
108	#95	C₂³	1	8	yes	—
109	#95	C₂³	1	4	yes	—
110	#95	C₂³	1	8	yes	—
111	C₂⁴	—	2	4	no	—
112	C₂⁴	—	2	4	no	—
113	C₂⁴	—	2	4	no	—
114	C₂⁴	—	2	4	no	—
115	C₂⁴	—	2	4	no	—
116	C₂⁴	—	2	4	no	—
117	C₂⁴	C₂²×C₄	1	8	yes	—
118	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
119	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
120	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
121	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
122	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
123	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
124	C₂×D₄	—	2	32	no	—
125	C₂×D₄	—	2	8	no	—
126	C₂×D₄	—	2	8	no	—
127	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
128	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
151	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
152	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
153	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
154	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
155	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
156	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
157	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
158	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
159	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
160	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
161	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
164	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
165	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
167	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
168	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
172	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
173	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
174	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
175	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
176	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
177	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
178	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
179	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
180	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	complemented
181	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	complemented
182	C₄²	—	2	8	no	—
183	C₄²	—	2	16	no	—
184	C₄²	—	2	8	no	—
185	C₄²	—	4	8	no	—
186	C₄²	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
187	C₂³	—	2	16	no	—
188	C₂³	—	2	16	no	—
189	C₂³	—	2	16	no	—
190	C₂³	—	2	4	no	—
191	C₂³	—	2	4	no	—
192	C₂³	—	2	4	no	—
193	C₂³	—	2	4	no	—
194	C₂³	—	2	4	no	—
195	C₂³	—	2	4	no	—
196	C₂³	—	4	8	no	—
197	C₂³	—	4	8	no	—
198	C₂³	—	4	8	no	—
199	C₂³	—	4	8	no	—
200	C₂³	C₂³×C₄	1	8	yes	—
201	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
202	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
203	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
204	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
205	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
206	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
207	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
208	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
209	Q₈	—	2	32	no	—
210	D₄	—	2	32	no	—
211	C₂×C₄	—	2	16	no	—
212	C₂×C₄	—	2	8	no	—
213	C₂×C₄	—	2	8	no	—
214	C₂×C₄	—	2	8	no	—
215	C₂×C₄	—	2	16	no	—
216	C₂×C₄	—	2	8	no	—
217	C₂×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂×C₄	—	4	32	no	—
239	C₂×C₄	—	4	4	no	—
240	C₂×C₄	—	4	4	no	—
241	C₂×C₄	—	4	8	no	—
242	C₂×C₄	C₄×D₄	1	16	yes	—
243	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
244	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
245	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
246	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
247	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
248	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
249	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
250	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
251	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
252	C₂²	—	2	8	no	—
253	C₂²	—	2	8	no	—
254	C₂²	—	2	8	no	—
255	C₂²	—	4	32	no	—
256	C₂²	—	4	4	no	—
257	C₂²	—	4	4	no	—
258	C₂²	—	4	4	no	—
259	C₂²	—	4	4	no	—
260	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
261	C₂²	C₄×#41	1	4	yes	—
262	C₂²	#520	1	4	yes	—
263	C₂²	#546	1	4	yes	—
264	C₂²	#548	1	4	yes	—
265	C₂²	#556	1	4	yes	—
266	C₂²	#559	1	4	yes	—
267	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
270	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
271	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
272	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
273	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
274	C₄	—	2	8	no	—
275	C₄	—	2	4	no	—
276	C₄	—	2	4	no	—
277	C₄	—	2	4	no	—
278	C₄	—	2	8	no	—
279	C₄	—	2	4	no	—
280	C₄	—	4	2	no	—
281	C₄	—	4	2	no	—
282	C₄	—	4	4	no	—
283	C₄	C₂×C₄×D₄	1	8	yes	—
284	C₂	—	4	8	no	—
285	C₂	#2367	1	8	yes	direct product factor
286	C₂	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂	C₂×C₄×#41	1	1	yes	characteristic
288	C₂	C₂×#520	1	1	yes	characteristic
289	C₂	C₂×#546	1	1	yes	characteristic
290	C₂	C₂×#548	1	1	yes	characteristic
291	C₂	C₂×#556	1	1	yes	characteristic
292	C₂	C₂×#559	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂³×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×C₄×Q₈	C₂	semidirect
4. #2367	C₂	direct (N × H)
5. C₂×#391	C₂	semidirect
7. C₂×#388	C₂	semidirect
8. C₂×#388	C₂	semidirect
9. C₂×#385	C₂	semidirect
10. C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
11. C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
12. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
16. C₂×#124	C₄	semidirect
19. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
37. #391	C₂²	semidirect
39. #388	C₂²	semidirect
40. #388	C₂²	semidirect
41. #385	C₂²	semidirect
42. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
43. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
44. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
53. C₂²×Q₈	C₂×C₄	semidirect
73. #124	C₂×C₄	semidirect
89. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
90. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
100. C₂×C₄²	C₂×C₄	semidirect
123. C₂×Q₈	C₂²×C₄	semidirect
180. C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	semidirect
181. C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	semidirect
186. C₄²	C₂²×C₄	semidirect
285. C₂	#2367	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#124	2
C₂²×C₄×Q₈	2
C₂²×C₄×D₄	2
#2367	2
C₂×#391	2
C₂×#390	2
C₂×#388	2
C₂×#385	2
C₂×C₄×C₄⋊C₄	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₄	2

Subgroups — C2×#2367 #34140

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#2367 #34140