Subgroups — C₂×#2368 #34142

Order 256.

1547 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 228 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2368	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
3	C₂×#391	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#387	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#387	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#385	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal
10	C₂²×#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂⁴×C₄	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₂²⋊Q₈	C₄	1	16	yes	complemented
15	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	8	yes	—
16	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
26	#391	C₂²	1	16	yes	complemented
27	#387	C₂²	1	16	yes	complemented
28	#387	C₂²	1	16	yes	complemented
29	#385	C₂²	1	16	yes	—
30	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	16	yes	complemented
31	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	16	yes	—
32	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
33	C₂×#95	C₂²	1	8	yes	—
34	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
44	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
45	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
47	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
48	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
49	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
50	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
51	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂³×C₄	C₂³	1	8	yes	—
54	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	64	yes	complemented
62	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
63	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
64	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
65	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
66	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
67	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
68	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
72	C₂×C₂²⋊C₄	Q₈	1	8	yes	complemented
73	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
75	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
77	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
78	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
79	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
80	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
81	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
82	#95	C₂³	1	4	yes	—
83	#95	C₂³	1	4	yes	—
84	#95	C₂³	1	8	yes	—
85	#95	C₂³	1	8	yes	—
86	#95	C₂³	1	8	yes	—
87	#95	C₂³	1	8	yes	—
88	#95	C₂³	1	8	yes	—
89	#95	C₂³	1	8	yes	—
90	C₂⁴	—	2	4	no	—
91	C₂⁴	—	2	4	no	—
92	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
93	C₂⁴	C₂×Q₈	1	4	yes	—
94	C₂⁴	#41	1	4	yes	—
95	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
96	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
97	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
98	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
99	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
100	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
101	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
102	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
103	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
104	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
105	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
106	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
107	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
108	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
109	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
110	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
111	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
113	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
114	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
115	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
116	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
117	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
118	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
119	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
120	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
121	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
122	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
123	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
124	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
125	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
126	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
127	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
128	C₂²×C₄	#41	1	8	yes	—
129	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
130	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
131	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
132	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
133	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
134	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
135	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
136	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
137	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
138	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
139	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
140	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	complemented
141	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
142	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
143	C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	16	yes	complemented
144	C₄²	—	2	16	no	—
145	C₄²	—	4	8	no	—
146	C₄²	—	4	8	no	—
147	C₂³	—	2	8	no	—
148	C₂³	—	2	8	no	—
149	C₂³	—	2	16	no	—
150	C₂³	—	2	16	no	—
151	C₂³	—	2	4	no	—
152	C₂³	—	2	4	no	—
153	C₂³	C₄×Q₈	1	16	yes	—
154	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
155	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
156	C₂³	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
157	C₂³	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
158	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
159	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
160	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
161	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
162	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
163	Q₈	—	4	16	no	—
164	C₂×C₄	—	2	16	no	—
165	C₂×C₄	—	2	8	no	—
166	C₂×C₄	—	2	8	no	—
167	C₂×C₄	—	2	16	no	—
168	C₂×C₄	—	2	16	no	—
169	C₂×C₄	—	2	16	no	—
170	C₂×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄	—	4	16	no	—
187	C₂×C₄	—	4	32	no	—
188	C₂×C₄	—	4	8	no	—
189	C₂×C₄	—	4	8	no	—
190	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
191	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
192	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
193	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
194	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
195	C₂×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
196	C₂²	—	2	32	no	—
197	C₂²	—	2	4	no	—
198	C₂²	—	2	4	no	—
199	C₂²	—	2	8	no	—
200	C₂²	—	2	8	no	—
201	C₂²	C₂×C₄×Q₈	1	8	yes	—
202	C₂²	C₂×C₄×Q₈	1	4	yes	—
203	C₂²	C₄×#41	1	4	yes	—
204	C₂²	#518	1	4	yes	—
205	C₂²	#551	1	8	yes	—
206	C₂²	#554	1	8	yes	—
207	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂²	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
209	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
210	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
211	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
212	C₄	—	2	8	no	—
213	C₄	—	2	4	no	—
214	C₄	—	2	4	no	—
215	C₄	—	2	8	no	—
216	C₄	—	2	8	no	—
217	C₄	—	2	8	no	—
218	C₄	—	4	4	no	—
219	C₄	—	4	4	no	—
220	C₂	—	2	8	no	—
221	C₂	#2368	1	8	yes	direct product factor
222	C₂	C₂²×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
223	C₂	C₂×C₄×#41	1	1	yes	characteristic
224	C₂	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
225	C₂	C₂×#551	1	2	yes	—
226	C₂	C₂×#554	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂⁵	C₂³
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2368	C₂	direct (N × H)
3. C₂×#391	C₂	semidirect
4. C₂×#387	C₂	semidirect
5. C₂×#387	C₂	semidirect
7. C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
14. C₂×C₂²⋊Q₈	C₄	semidirect
26. #391	C₂²	semidirect
27. #387	C₂²	semidirect
28. #387	C₂²	semidirect
30. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
44. C₂²×Q₈	C₂×C₄	semidirect
61. C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
64. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
65. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
72. C₂×C₂²⋊C₄	Q₈	semidirect
99. C₂×Q₈	C₂²×C₄	semidirect
139. C₄⋊C₄	C₂²×C₄	semidirect
140. C₄⋊C₄	C₂²×C₄	semidirect
143. C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	semidirect
221. C₂	#2368	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₂²⋊Q₈	2
#2368	2
C₂×#391	2
C₂×#387	2
C₂×#385	2
C₂×C₄×C₄⋊C₄	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₄	2
C₂²×#95	2

Subgroups — C2×#2368 #34142

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#2368 #34142