Subgroups — #34153

Order 256.

1271 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 347 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#529	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2373	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#2370	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2367	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2361	C₂	1	2	yes	maximal
6	#2360	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2359	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2298	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2296	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2295	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#2293	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#2290	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	C₄²×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₄²×D₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	C₄²×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
17	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	#529	C₄	1	16	yes	complemented
19	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#391	C₂²	1	2	yes	—
39	#390	C₂²	1	2	yes	—
40	#389	C₂²	1	4	yes	—
41	#389	C₂²	1	2	yes	—
42	#389	C₂²	1	4	yes	—
43	#389	C₂²	1	2	yes	—
44	#388	C₂²	1	4	yes	—
45	#388	C₂²	1	4	yes	—
46	#388	C₂²	1	4	yes	—
47	#388	C₂²	1	4	yes	—
48	#387	C₂²	1	4	yes	—
49	#387	C₂²	1	4	yes	—
50	#387	C₂²	1	4	yes	—
51	#387	C₂²	1	4	yes	—
52	#386	C₂²	1	4	yes	—
53	#385	C₂²	1	4	yes	—
54	#385	C₂²	1	4	yes	—
55	#385	C₂²	1	4	yes	—
56	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
57	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
58	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
59	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
60	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
61	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
62	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
63	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
64	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
65	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
66	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
67	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
68	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
69	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
70	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
71	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
72	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
73	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
74	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
75	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
76	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
77	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
78	#376	C₂²	1	2	yes	—
79	#376	C₂²	1	2	yes	—
80	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
81	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
82	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
83	C₄³	C₂²	1	2	yes	—
84	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	#126	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
94	#125	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
95	#124	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
96	#123	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
97	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
98	#121	C₂×C₄	1	8	yes	—
99	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
100	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
101	C₄×D₄	—	2	8	no	—
102	C₄×D₄	—	2	16	no	—
103	C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
104	C₄×D₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
105	#117	—	2	8	no	—
106	#117	—	4	4	no	—
107	#117	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
108	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
134	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
135	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
136	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
155	#95	C₂³	1	2	yes	—
156	#95	C₂³	1	4	yes	—
157	#95	C₂³	1	2	yes	—
158	#95	C₂³	1	2	yes	—
159	#95	C₂³	1	2	yes	—
160	#95	C₂³	1	2	yes	—
161	#95	C₂³	1	2	yes	—
162	#95	C₂³	1	4	yes	—
163	#95	C₂³	1	4	yes	—
164	#95	C₂³	1	4	yes	—
165	#95	C₂³	1	4	yes	—
166	#95	C₂³	1	4	yes	—
167	#95	C₂³	1	4	yes	—
168	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
169	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
170	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
171	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
172	C₂×D₄	—	2	8	no	—
173	C₂×D₄	—	2	4	no	—
174	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
175	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
188	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
207	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
208	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
209	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
210	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
211	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
212	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
213	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
214	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
215	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
216	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
217	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
218	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
219	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
220	C₄⋊C₄	#41	1	8	yes	—
221	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
223	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
224	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
225	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
226	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
227	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
228	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
229	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
230	C₂²⋊C₄	#41	1	8	yes	—
231	C₄²	—	2	4	no	—
232	C₄²	—	2	4	no	—
233	C₄²	—	2	8	no	—
234	C₄²	—	2	4	no	—
235	C₄²	—	2	8	no	—
236	C₄²	—	2	4	no	—
237	C₄²	—	2	2	no	—
238	C₄²	—	2	4	no	—
239	C₄²	—	2	4	no	—
240	C₄²	—	2	2	no	—
241	C₄²	—	2	2	no	—
242	C₄²	—	2	2	no	—
243	C₄²	—	4	4	no	—
244	C₄²	—	4	4	no	—
245	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
246	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
247	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
248	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
249	C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
250	C₂³	—	2	2	no	—
251	C₂³	—	2	1	no	—
252	C₂³	—	2	1	no	—
253	C₂³	—	2	4	no	—
254	C₂³	—	2	4	no	—
255	C₂³	—	2	2	no	—
256	C₂³	—	2	2	no	—
257	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
258	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
259	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
260	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
261	Q₈	—	2	8	no	—
262	D₄	—	2	16	no	—
263	D₄	—	2	8	no	—
264	C₂×C₄	—	2	8	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	1	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	8	no	—
281	C₂×C₄	—	2	8	no	—
282	C₂×C₄	—	2	16	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	4	16	no	—
293	C₂×C₄	—	4	16	no	—
294	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
299	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
300	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
301	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
305	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
309	C₂²	—	2	2	no	—
310	C₂²	—	2	2	no	—
311	C₂²	—	2	4	no	—
312	C₂²	—	2	4	no	—
313	C₂²	—	2	4	no	—
314	C₂²	—	2	4	no	—
315	C₂²	—	2	4	no	—
316	C₂²	—	4	4	no	—
317	C₂²	—	4	4	no	—
318	C₂²	C₄×#41	1	4	yes	—
319	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
321	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
322	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
324	C₄	—	2	2	no	—
325	C₄	—	2	2	no	—
326	C₄	—	2	2	no	—
327	C₄	—	2	4	no	—
328	C₄	—	2	4	no	—
329	C₄	—	2	2	no	—
330	C₄	—	2	4	no	—
331	C₄	—	2	4	no	—
332	C₄	—	2	8	no	—
333	C₄	—	2	4	no	—
334	C₄	—	4	2	no	—
335	C₄	—	4	4	no	—
336	C₄	—	4	2	no	—
337	C₄	C₄×#41	1	4	yes	—
338	C₄	#520	1	4	yes	—
339	C₂	—	2	4	no	—
340	C₂	—	4	4	no	—
341	C₂	C₂×C₄×#41	1	1	yes	characteristic
342	C₂	C₂×C₄×#41	1	1	yes	characteristic
343	C₂	C₂×#520	1	1	yes	characteristic
344	C₂	#3481	1	2	yes	—
345	C₂	#3482	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#121	C₂²
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2373	C₂	semidirect
3. #2370	C₂	semidirect
4. #2367	C₂	semidirect
6. #2360	C₂	semidirect
7. #2359	C₂	semidirect
8. #2298	C₂	semidirect
9. #2296	C₂	semidirect
10. #2295	C₂	semidirect
11. #2293	C₂	semidirect
12. #2290	C₂	semidirect
13. C₄²×Q₈	C₂	semidirect
14. C₄²×D₄	C₂	semidirect
15. C₄²×D₄	C₂	semidirect
16. C₄×#117	C₂	semidirect
17. C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
18. #529	C₄	semidirect
93. #126	C₂×C₄	semidirect
94. #125	C₂×C₄	semidirect
95. #124	C₂×C₄	semidirect
96. #123	C₂×C₄	semidirect
97. C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
100. C₄×Q₈	C₂×C₄	semidirect
103. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
104. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
107. #117	C₂×C₄	semidirect
135. C₂×C₄²	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#529	2
#2373	2
#2370	2
#2367	2
#2361	2
#2360	2
#2359	2
#2298	2
#2296	2
#2295	2
#2293	2
#2290	2
C₄²×Q₈	2
C₄²×D₄	2
C₄×#117	2
C₂×C₄×C₄⋊C₄	2