Subgroups — #34175

Order 256.

2751 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 223 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#520	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2341	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	Q₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2339	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	D₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
7	#2311	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
8	#2280	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	C₂×#380	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
10	C₂²×#41	—	2	16	no	—
11	C₂²×#41	C₄	1	16	yes	complemented
12	C₂²×#41	C₂²	1	3	yes	—
13	C₂²×#41	C₂²	1	3	yes	—
14	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂³×D₄	C₂²	1	3	yes	—
18	C₂⁴×C₄	C₂²	1	3	yes	—
19	#520	—	2	16	no	—
20	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	12	yes	complemented
22	C₂×#117	C₂²	1	6	yes	complemented
23	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	6	yes	complemented
24	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
25	#391	C₂²	1	12	yes	complemented
26	#390	C₂²	1	12	yes	complemented
27	#386	C₂²	1	24	yes	complemented
28	#381	C₂²	1	6	yes	complemented
29	#380	C₂²	1	6	yes	—
30	#380	C₂²	1	3	yes	—
31	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#380	C₂²	1	6	yes	complemented
33	#380	C₂²	1	6	yes	complemented
34	#380	C₂²	1	6	yes	complemented
35	#379	C₂²	1	6	yes	—
36	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
37	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	6	yes	complemented
38	C₂×#95	C₂²	1	6	yes	complemented
39	C₂⁵	C₂³	1	3	yes	—
40	C₂×#41	—	2	128	no	—
41	C₂×#41	—	2	8	no	—
42	C₂×#41	—	2	24	no	—
43	C₂×#41	—	2	24	no	—
44	C₂×#41	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	C₂×#41	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
46	C₂×#41	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
47	C₂×#41	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
48	C₂×#41	D₄	1	16	yes	—
49	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
50	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
51	C₂²×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
52	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
54	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
55	C₂²×D₄	C₂³	1	6	yes	—
56	C₂²×D₄	C₂³	1	3	yes	—
57	C₂²×D₄	C₂³	1	3	yes	—
58	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
59	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
60	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂³×C₄	C₂³	1	3	yes	—
62	C₂³×C₄	C₂³	1	3	yes	—
63	C₂³×C₄	C₂³	1	3	yes	—
64	C₂³×C₄	C₂³	1	3	yes	—
65	C₂³×C₄	C₂³	1	12	yes	—
66	C₂³×C₄	C₂³	1	3	yes	—
67	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
68	C₄×D₄	—	2	48	no	—
69	#117	—	2	24	no	—
70	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
71	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
76	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
77	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
79	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
80	C₂×C₄²	C₂³	1	12	yes	—
81	#95	C₂³	1	6	yes	—
82	#95	C₂³	1	12	yes	—
83	#95	C₂³	1	12	yes	—
84	#95	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂⁴	—	2	12	no	—
86	C₂⁴	—	2	6	no	—
87	C₂⁴	—	2	6	no	—
88	C₂⁴	—	4	6	no	—
89	C₂⁴	C₂²×C₄	1	12	yes	—
90	C₂⁴	C₂⁴	1	3	yes	—
91	C₂⁴	C₂⁴	1	3	yes	—
92	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
93	#41	—	2	32	no	—
94	#41	—	2	96	no	—
95	#41	—	2	96	no	—
96	#41	C₂²⋊C₄	1	64	yes	complemented
97	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
98	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
99	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
100	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
101	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
102	C₂×D₄	—	2	24	no	—
103	C₂×D₄	—	2	96	no	—
104	C₂×D₄	—	2	12	no	—
105	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
106	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
107	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
108	C₂×D₄	C₂×D₄	1	24	yes	—
109	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
110	C₂²×C₄	—	2	96	no	—
111	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
113	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
114	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
115	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
116	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
117	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
118	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
119	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
120	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
121	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
122	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
123	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
124	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	24	yes	—
125	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
126	C₂²×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
127	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
129	C₂²×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
130	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
131	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
132	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
133	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
135	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
136	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
138	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
139	C₄²	—	2	24	no	—
140	C₂³	—	2	2	no	—
141	C₂³	—	2	3	no	—
142	C₂³	—	2	3	no	—
143	C₂³	—	2	6	no	—
144	C₂³	—	2	2	no	—
145	C₂³	—	2	24	no	—
146	C₂³	—	2	24	no	—
147	C₂³	—	2	6	no	—
148	C₂³	—	2	3	no	—
149	C₂³	—	2	3	no	—
150	C₂³	—	2	6	no	—
151	C₂³	—	4	12	no	—
152	C₂³	—	4	24	no	—
153	C₂³	—	4	24	no	—
154	C₂³	C₂³×C₄	1	6	yes	—
155	C₂³	C₂³×C₄	1	6	yes	—
156	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
157	C₂³	C₂²×D₄	1	12	yes	—
158	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
159	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
160	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
161	Q₈	—	2	24	no	—
162	Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
163	D₄	—	2	48	no	—
164	D₄	—	2	24	no	—
165	D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	48	yes	complemented
166	C₂×C₄	—	2	24	no	—
167	C₂×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄	—	2	6	no	—
169	C₂×C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄	—	2	24	no	—
171	C₂×C₄	—	2	24	no	—
172	C₂×C₄	—	2	24	no	—
173	C₂×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₄	—	2	12	no	—
175	C₂×C₄	—	2	12	no	—
176	C₂×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄	—	2	12	no	—
179	C₂×C₄	—	8	24	no	—
180	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	48	yes	complemented
181	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
183	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
185	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
186	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
187	C₂²	—	2	2	no	—
188	C₂²	—	2	6	no	—
189	C₂²	—	2	2	no	—
190	C₂²	—	2	6	no	—
191	C₂²	—	2	12	no	—
192	C₂²	—	2	4	no	—
193	C₂²	—	2	4	no	—
194	C₂²	—	2	12	no	—
195	C₂²	—	2	6	no	—
196	C₂²	—	2	6	no	—
197	C₂²	—	2	6	no	—
198	C₂²	—	4	48	no	—
199	C₂²	—	4	6	no	—
200	C₂²	—	4	6	no	—
201	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
202	C₂²	#520	1	4	yes	complemented
203	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂²	C₂³×D₄	1	2	yes	—
205	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
206	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
207	C₂²	#585	1	2	yes	—
208	C₄	—	2	2	no	—
209	C₄	—	2	6	no	—
210	C₄	—	4	12	no	—
211	C₄	—	4	4	no	—
212	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
213	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
214	C₂	—	2	4	no	—
215	C₂	—	2	12	no	—
216	C₂	—	4	6	no	—
217	C₂	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂	C₂×#520	1	1	yes	characteristic
219	C₂	#3428	1	1	yes	characteristic
220	C₂	#3488	1	2	yes	—
221	C₂	#3489	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂³×#41	C₂
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#520	C₂	semidirect
3. #2341	C₂	semidirect
4. Q₈×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
5. #2339	C₂	semidirect
6. D₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
7. #2311	C₂	semidirect
8. #2280	C₂	semidirect
9. C₂×#380	C₂	semidirect
11. C₂²×#41	C₄	semidirect
20. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
21. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
22. C₂×#117	C₂²	semidirect
23. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
25. #391	C₂²	semidirect
26. #390	C₂²	semidirect
27. #386	C₂²	semidirect
28. #381	C₂²	semidirect
32. #380	C₂²	semidirect
33. #380	C₂²	semidirect
34. #380	C₂²	semidirect
37. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
38. C₂×#95	C₂²	semidirect
45. C₂×#41	C₂×C₄	semidirect
46. C₂×#41	C₂×C₄	semidirect
47. C₂×#41	C₂×C₄	semidirect
50. C₂²×Q₈	C₂×C₄	semidirect
54. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
59. C₂³×C₄	C₂×C₄	semidirect
96. #41	C₂²⋊C₄	semidirect
162. Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	semidirect
165. D₄	C₂×C₂²⋊C₄	semidirect
180. C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	semidirect
202. C₂²	#520	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#41	2
C₂×#520	2
#2341	2
Q₈×C₂²⋊C₄	2
#2339	2
D₄×C₂²⋊C₄	2
#2311	2
#2280	2
C₂×#380	2