Subgroups — #34181

Order 256.

1789 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 184 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#518	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂²×C₄×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#2349	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	D₄×C₄⋊C₄	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#2316	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2315	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2285	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#380	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂⁴×C₄	C₂²	1	2	yes	—
11	#518	—	2	16	no	—
12	C₂×C₄×D₄	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	16	yes	—
14	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
19	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#389	C₂²	1	16	yes	complemented
23	#385	C₂²	1	32	yes	complemented
24	#384	C₂²	1	4	yes	complemented
25	#382	C₂²	1	4	yes	complemented
26	#380	C₂²	1	4	yes	—
27	#380	C₂²	1	8	yes	—
28	#380	C₂²	1	4	yes	—
29	#380	C₂²	1	8	yes	complemented
30	#380	C₂²	1	8	yes	complemented
31	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
33	C₂×#95	C₂²	1	8	yes	complemented
34	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
36	C₂²×D₄	D₄	1	8	yes	—
37	C₂²×D₄	Q₈	1	8	yes	—
38	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
39	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
40	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
41	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₄	C₂³	1	16	yes	—
44	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₄×D₄	—	2	64	no	—
49	C₄×D₄	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
50	C₄×D₄	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
51	#117	—	2	16	no	—
52	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
53	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
54	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
55	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
56	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
57	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
58	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
60	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
61	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
62	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
63	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
64	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
65	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
66	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
68	#95	C₂³	1	8	yes	—
69	#95	C₂³	1	16	yes	—
70	#95	C₂³	1	8	yes	—
71	C₂⁴	—	4	4	no	—
72	C₂⁴	—	4	4	no	—
73	C₂⁴	C₂²×C₄	1	8	yes	—
74	C₂⁴	C₂×D₄	1	8	yes	—
75	C₂⁴	C₂×Q₈	1	8	yes	—
76	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
77	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
78	C₂×D₄	C₄⋊C₄	1	64	yes	complemented
79	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
80	C₂×D₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
81	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	16	yes	—
82	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
83	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
84	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
85	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
86	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
87	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
88	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
89	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
90	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
91	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
92	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
93	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
94	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
95	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
96	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
97	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
98	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
99	C₂²×C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
100	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
102	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
103	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
104	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
105	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
106	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
107	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
108	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
109	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
110	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
111	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
112	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
113	C₄²	—	2	16	no	—
114	C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
115	C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
116	C₂³	—	2	8	no	—
117	C₂³	—	2	2	no	—
118	C₂³	—	2	8	no	—
119	C₂³	—	2	2	no	—
120	C₂³	—	4	8	no	—
121	C₂³	—	4	8	no	—
122	C₂³	—	4	16	no	—
123	C₂³	—	4	16	no	—
124	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	32	yes	complemented
125	C₂³	C₂³×C₄	1	8	yes	—
126	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
127	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
128	C₂³	C₂²×D₄	1	8	yes	—
129	C₂³	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
130	C₂³	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
131	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
132	D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	64	yes	complemented
133	C₂×C₄	—	2	8	no	—
134	C₂×C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄	—	2	8	no	—
137	C₂×C₄	—	2	32	no	—
138	C₂×C₄	—	2	16	no	—
139	C₂×C₄	—	2	16	no	—
140	C₂×C₄	—	2	16	no	—
141	C₂×C₄	—	4	16	no	—
142	C₂×C₄	—	4	8	no	—
143	C₂×C₄	—	4	4	no	—
144	C₂×C₄	—	8	32	no	—
145	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
146	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
147	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
149	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
150	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
152	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
153	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
154	C₂²	—	2	2	no	—
155	C₂²	—	2	8	no	—
156	C₂²	—	2	2	no	—
157	C₂²	—	2	8	no	—
158	C₂²	—	2	16	no	—
159	C₂²	—	2	4	no	—
160	C₂²	—	2	4	no	—
161	C₂²	—	2	16	no	—
162	C₂²	—	4	32	no	—
163	C₂²	C₂²×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
164	C₂²	C₂²×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
165	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
168	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
169	C₂²	#585	1	2	yes	—
170	C₄	—	2	2	no	—
171	C₄	—	2	8	no	—
172	C₄	—	2	4	no	—
173	C₄	—	4	16	no	—
174	C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
175	C₄	#518	1	4	yes	complemented
176	C₂	—	2	4	no	—
177	C₂	—	2	16	no	—
178	C₂	C₂³×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
180	C₂	#3428	1	1	yes	characteristic
181	C₂	#3496	1	2	yes	—
182	C₂	#3501	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂³×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #2349	C₂	semidirect
4. D₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
5. #2316	C₂	semidirect
6. #2315	C₂	semidirect
7. #2285	C₂	semidirect
8. C₂×#380	C₂	semidirect
12. C₂×C₄×D₄	C₄	semidirect
18. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
22. #389	C₂²	semidirect
23. #385	C₂²	semidirect
24. #384	C₂²	semidirect
25. #382	C₂²	semidirect
29. #380	C₂²	semidirect
30. #380	C₂²	semidirect
31. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
32. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
33. C₂×#95	C₂²	semidirect
40. C₂³×C₄	C₂×C₄	semidirect
49. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
50. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
53. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
60. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
64. C₂×C₄²	C₂×C₄	semidirect
78. C₂×D₄	C₄⋊C₄	semidirect
124. C₂³	C₂×C₄⋊C₄	semidirect
132. D₄	C₂×C₄⋊C₄	semidirect
145. C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	semidirect
175. C₄	#518	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#518	2
C₂²×C₄×D₄	2
#2349	2
D₄×C₄⋊C₄	2
#2316	2
#2315	2
#2285	2
C₂×#380	2