Subgroups — #34183

Order 256.

1603 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 145 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#520	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×C₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	Q₈×C₄⋊C₄	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	D₄×C₄⋊C₄	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
5	#2317	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	#2285	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	C₂×#384	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	#520	—	2	16	no	—
10	C₄×#41	C₄	1	16	yes	complemented
11	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	12	yes	—
14	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	6	yes	—
15	C₂×#117	C₂²	1	6	yes	—
16	C₂×#117	C₂²	1	3	yes	—
17	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
18	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	12	yes	—
19	C₂²×C₄²	C₂²	1	3	yes	—
20	#389	C₂²	1	24	yes	—
21	#385	C₂²	1	24	yes	—
22	#384	C₂²	1	6	yes	—
23	#384	C₂²	1	12	yes	—
24	#384	C₂²	1	3	yes	—
25	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#382	C₂²	1	6	yes	—
27	#380	C₂²	1	12	yes	—
28	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	12	yes	—
29	C₂×#41	C₂×C₄	1	8	yes	—
30	C₂×#41	D₄	1	8	yes	—
31	C₂×#41	Q₈	1	8	yes	—
32	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×D₄	C₂³	1	3	yes	—
34	C₂³×C₄	C₂³	1	6	yes	—
35	C₂³×C₄	C₂³	1	12	yes	—
36	C₂³×C₄	C₂³	1	3	yes	—
37	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
38	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
39	C₄×D₄	—	2	48	no	—
40	C₄×D₄	C₂×C₄	1	48	yes	complemented
41	#117	—	2	24	no	—
42	#117	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
43	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
44	C₂×C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
45	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
46	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
47	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
48	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
51	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
52	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
53	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
54	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
55	C₂×C₄²	C₂³	1	12	yes	—
56	C₂×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
57	C₂×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
58	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#95	C₂³	1	24	yes	—
60	C₂⁴	C₂⁴	1	3	yes	—
61	#41	C₄⋊C₄	1	64	yes	complemented
62	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
63	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
64	C₂×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
65	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
66	C₂×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
67	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	12	yes	—
68	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
69	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
70	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
71	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
72	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
73	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
74	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
75	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	12	yes	—
76	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
77	C₂²×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
78	C₂²×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
79	C₂²×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
80	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
82	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
83	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
84	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
85	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
86	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
87	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
88	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
89	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
90	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
91	C₄²	—	2	24	no	—
92	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
93	C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
94	C₄²	C₂²×C₄	1	24	yes	—
95	C₂³	—	2	6	no	—
96	C₂³	—	2	6	no	—
97	C₂³	C₂³×C₄	1	6	yes	—
98	C₂³	C₂²×D₄	1	6	yes	—
99	C₂³	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
100	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
101	Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
102	D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	48	yes	complemented
103	C₂×C₄	—	2	6	no	—
104	C₂×C₄	—	2	6	no	—
105	C₂×C₄	—	2	48	no	—
106	C₂×C₄	—	2	4	no	—
107	C₂×C₄	—	2	12	no	—
108	C₂×C₄	—	2	24	no	—
109	C₂×C₄	—	2	8	no	—
110	C₂×C₄	—	8	24	no	—
111	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	48	yes	complemented
112	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	12	yes	—
113	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
114	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
115	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
116	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
117	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
118	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
119	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
120	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
121	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
122	C₂²	—	2	12	no	—
123	C₂²	—	2	6	no	—
124	C₂²	—	2	6	no	—
125	C₂²	—	2	12	no	—
126	C₂²	C₂²×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
127	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
130	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
131	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
132	C₄	—	2	12	no	—
133	C₄	—	4	12	no	—
134	C₄	—	4	4	no	—
135	C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
136	C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
137	C₄	#520	1	8	yes	complemented
138	C₂	—	2	12	no	—
139	C₂	C₂³×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂	C₂×#520	1	2	yes	—
141	C₂	#3498	1	1	yes	characteristic
142	C₂	#3499	1	1	yes	characteristic
143	C₂	#3503	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂²×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. Q₈×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
4. D₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
5. #2317	C₂	semidirect
6. #2285	C₂	semidirect
7. C₂×#384	C₂	semidirect
10. C₄×#41	C₄	semidirect
38. C₄×Q₈	C₂×C₄	semidirect
40. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
42. #117	C₂×C₄	semidirect
54. C₂×C₄²	C₂×C₄	semidirect
61. #41	C₄⋊C₄	semidirect
101. Q₈	C₂×C₄⋊C₄	semidirect
102. D₄	C₂×C₄⋊C₄	semidirect
111. C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	semidirect
137. C₄	#520	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#520	2
C₂×C₄×#41	2
Q₈×C₄⋊C₄	2
D₄×C₄⋊C₄	2
#2317	2
#2285	2
C₂×#384	2