Subgroups — #34186

Order 256.

1429 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 168 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2357	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
3	#2354	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#2312	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2309	C₂	1	2	yes	maximal
6	#2285	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2280	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2274	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂⁴×C₄	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×D₄	C₄	1	16	yes	complemented
12	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#117	C₂²	1	8	yes	complemented
16	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#390	C₂²	1	16	yes	—
20	#388	C₂²	1	32	yes	complemented
21	#384	C₂²	1	4	yes	complemented
22	#382	C₂²	1	4	yes	complemented
23	#381	C₂²	1	8	yes	complemented
24	#380	C₂²	1	4	yes	—
25	#380	C₂²	1	4	yes	—
26	#380	C₂²	1	8	yes	complemented
27	#379	C₂²	1	8	yes	—
28	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
29	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	16	yes	complemented
30	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
31	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
32	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
33	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
35	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
36	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
38	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
39	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₄×D₄	C₂×C₄	1	32	yes	—
46	C₄×D₄	C₂×C₄	1	32	yes	—
47	#117	—	2	16	no	—
48	#117	—	4	16	no	—
49	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
50	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
51	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
52	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
53	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
55	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
56	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
57	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
58	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
59	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
60	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
61	C₂×C₄²	C₂³	1	16	yes	—
62	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
64	#95	C₂³	1	16	yes	—
65	#95	C₂³	1	8	yes	—
66	#95	C₂³	1	8	yes	—
67	C₂⁴	—	2	8	no	—
68	C₂⁴	—	4	4	no	—
69	C₂⁴	—	4	4	no	—
70	C₂⁴	C₂²×C₄	1	8	yes	—
71	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
72	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
73	C₂×D₄	—	2	32	no	—
74	C₂×D₄	—	2	8	no	—
75	C₂×D₄	—	2	8	no	—
76	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
77	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
78	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
79	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
80	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
81	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
82	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
83	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
84	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
85	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
86	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
87	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
88	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
89	C₂²×C₄	#41	1	8	yes	—
90	C₂²×C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
91	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
93	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
94	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
95	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
96	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
97	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
98	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
99	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
100	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
101	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
102	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
103	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
104	C₄²	—	2	16	no	—
105	C₄²	—	4	16	no	—
106	C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
107	C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
108	C₂³	—	2	2	no	—
109	C₂³	—	2	2	no	—
110	C₂³	—	2	16	no	—
111	C₂³	—	2	8	no	—
112	C₂³	—	2	8	no	—
113	C₂³	—	2	8	no	—
114	C₂³	—	4	8	no	—
115	C₂³	—	4	8	no	—
116	C₂³	—	4	32	no	—
117	C₂³	C₂³×C₄	1	8	yes	—
118	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
119	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
120	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
121	D₄	—	2	32	no	—
122	C₂×C₄	—	2	8	no	—
123	C₂×C₄	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄	—	2	8	no	—
126	C₂×C₄	—	2	32	no	—
127	C₂×C₄	—	2	16	no	—
128	C₂×C₄	—	2	16	no	—
129	C₂×C₄	—	2	16	no	—
130	C₂×C₄	—	4	16	no	—
131	C₂×C₄	—	4	8	no	—
132	C₂×C₄	—	4	4	no	—
133	C₂×C₄	#117	1	16	yes	complemented
134	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
135	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
137	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
138	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
140	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
141	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
142	C₂²	—	2	2	no	—
143	C₂²	—	2	2	no	—
144	C₂²	—	2	8	no	—
145	C₂²	—	2	8	no	—
146	C₂²	—	2	8	no	—
147	C₂²	—	2	8	no	—
148	C₂²	—	4	32	no	—
149	C₂²	—	4	16	no	—
150	C₂²	C₂×#117	1	4	yes	—
151	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
153	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
154	C₂²	#585	1	2	yes	—
155	C₄	—	2	2	no	—
156	C₄	—	2	8	no	—
157	C₄	—	2	4	no	—
158	C₄	—	4	16	no	—
159	C₄	C₂×#117	1	8	yes	—
160	C₄	#518	1	4	yes	—
161	C₂	—	2	4	no	—
162	C₂	—	4	8	no	—
163	C₂	C₂²×#117	1	1	yes	characteristic
164	C₂	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
165	C₂	#3428	1	1	yes	characteristic
166	C₂	#3506	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂³×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2357	C₂	semidirect
3. #2354	C₂	semidirect
4. #2312	C₂	semidirect
6. #2285	C₂	semidirect
7. #2280	C₂	semidirect
8. #2274	C₂	semidirect
11. C₂×C₄×D₄	C₄	semidirect
15. C₂×#117	C₂²	semidirect
20. #388	C₂²	semidirect
21. #384	C₂²	semidirect
22. #382	C₂²	semidirect
23. #381	C₂²	semidirect
26. #380	C₂²	semidirect
28. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
29. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
30. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
32. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
133. C₂×C₄	#117	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×D₄	2
#2357	2
#2354	2
#2312	2
#2309	2
#2285	2
#2280	2
#2274	2