Subgroups — #34199

Order 256.

1595 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 297 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#123	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#518	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂²×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2359	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#2344	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2342	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2322	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2315	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#2308	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₄×#123	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	C₂×#381	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#2273	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#123	C₄	1	16	yes	complemented
16	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
19	#518	—	2	8	no	—
20	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#117	—	2	8	no	—
23	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	complemented
26	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
28	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	complemented
36	#389	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#387	C₂²	1	8	yes	complemented
40	#387	C₂²	1	8	yes	complemented
41	#386	C₂²	1	4	yes	—
42	#386	C₂²	1	4	yes	—
43	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#385	C₂²	1	8	yes	complemented
46	#381	C₂²	1	2	yes	—
47	#381	C₂²	1	4	yes	—
48	#381	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#381	C₂²	1	2	yes	complemented
50	#380	C₂²	1	4	yes	—
51	#379	C₂²	1	2	yes	—
52	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
53	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
54	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
55	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
56	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
57	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	complemented
58	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
61	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
62	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
63	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
66	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
67	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
68	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
79	#123	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
80	#123	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
81	#123	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
82	C₄×D₄	—	2	16	no	—
83	C₄×D₄	—	2	16	no	—
84	#117	—	2	16	no	—
85	#117	—	2	16	no	—
86	#117	—	2	8	no	—
87	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
88	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
89	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
90	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
92	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
95	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
96	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
97	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
98	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
99	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
100	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	8	yes	—
101	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
116	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
117	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
119	#95	C₂³	1	8	yes	—
120	#95	C₂³	1	8	yes	—
121	#95	C₂³	1	8	yes	—
122	#95	C₂³	1	8	yes	—
123	#95	C₂³	1	8	yes	—
124	C₂⁴	—	2	2	no	—
125	C₂⁴	—	2	2	no	—
126	C₂⁴	—	4	4	no	—
127	C₂⁴	—	4	4	no	—
128	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
129	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
130	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
131	C₂⁴	#41	1	4	yes	—
132	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
133	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
134	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
135	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
136	C₂×D₄	—	2	32	no	—
137	C₂×D₄	—	2	4	no	—
138	C₂×D₄	—	2	4	no	—
139	C₂×D₄	—	2	4	no	—
140	C₂×D₄	—	2	4	no	—
141	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
142	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
143	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
158	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
159	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
160	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
161	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
162	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
163	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
164	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
165	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
167	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
168	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
179	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
180	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
181	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
182	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
183	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
184	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
191	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
192	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
193	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
194	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
195	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
196	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
197	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
198	C₄²	—	2	16	no	—
199	C₄²	—	2	8	no	—
200	C₄²	—	4	8	no	—
201	C₂³	—	2	4	no	—
202	C₂³	—	2	4	no	—
203	C₂³	—	2	4	no	—
204	C₂³	—	2	2	no	—
205	C₂³	—	2	2	no	—
206	C₂³	—	2	8	no	—
207	C₂³	—	2	8	no	—
208	C₂³	—	4	8	no	—
209	C₂³	—	4	8	no	—
210	C₂³	—	4	8	no	—
211	C₂³	—	4	8	no	—
212	C₂³	—	8	4	no	—
213	C₂³	—	8	4	no	—
214	C₂³	C₄×D₄	1	16	yes	—
215	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
216	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
217	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
218	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
219	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
220	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
221	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
222	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
223	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
224	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
225	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
226	D₄	—	2	16	no	—
227	D₄	—	2	16	no	—
228	C₂×C₄	—	2	16	no	—
229	C₂×C₄	—	2	8	no	—
230	C₂×C₄	—	2	8	no	—
231	C₂×C₄	—	2	16	no	—
232	C₂×C₄	—	2	8	no	—
233	C₂×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	8	no	—
240	C₂×C₄	—	2	8	no	—
241	C₂×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂×C₄	—	2	8	no	—
245	C₂×C₄	—	2	8	no	—
246	C₂×C₄	—	2	8	no	—
247	C₂×C₄	—	4	8	no	—
248	C₂×C₄	—	4	8	no	—
249	C₂×C₄	—	4	8	no	—
250	C₂×C₄	—	8	8	no	—
251	C₂×C₄	—	8	4	no	—
252	C₂×C₄	—	8	4	no	—
253	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
254	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
255	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
256	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
257	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
258	C₂²	—	2	4	no	—
259	C₂²	—	2	4	no	—
260	C₂²	—	2	4	no	—
261	C₂²	—	2	4	no	—
262	C₂²	—	2	4	no	—
263	C₂²	—	2	4	no	—
264	C₂²	—	2	4	no	—
265	C₂²	—	2	4	no	—
266	C₂²	—	2	4	no	—
267	C₂²	—	2	4	no	—
268	C₂²	—	2	8	no	—
269	C₂²	—	4	16	no	—
270	C₂²	—	4	4	no	—
271	C₂²	—	4	4	no	—
272	C₂²	—	8	8	no	—
273	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
274	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
275	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
276	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
279	C₂²	#585	1	4	yes	—
280	C₄	—	2	4	no	—
281	C₄	—	2	4	no	—
282	C₄	—	2	4	no	—
283	C₄	—	2	8	no	—
284	C₄	—	2	8	no	—
285	C₄	—	4	4	no	—
286	C₄	—	4	4	no	—
287	C₄	—	4	4	no	—
288	C₂	—	2	4	no	—
289	C₂	—	2	4	no	—
290	C₂	—	2	4	no	—
291	C₂	—	4	4	no	—
292	C₂	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂	#3428	1	2	yes	—
294	C₂	#3485	1	2	yes	—
295	C₂	#3491	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂³×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂²×#117	C₂	semidirect
4. #2359	C₂	semidirect
5. #2344	C₂	semidirect
6. #2342	C₂	semidirect
7. #2322	C₂	semidirect
8. #2315	C₂	semidirect
10. C₄×#123	C₂	semidirect
11. C₂×#381	C₂	semidirect
12. #2273	C₂	semidirect
15. C₂×#123	C₄	semidirect
25. C₂×#117	C₂²	semidirect
27. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
35. C₂²×C₄²	C₂²	semidirect
36. #389	C₂²	semidirect
37. #388	C₂²	semidirect
38. #388	C₂²	semidirect
39. #387	C₂²	semidirect
40. #387	C₂²	semidirect
43. #385	C₂²	semidirect
44. #385	C₂²	semidirect
45. #385	C₂²	semidirect
48. #381	C₂²	semidirect
49. #381	C₂²	semidirect
52. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
54. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
55. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
56. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
57. C₂×#95	C₂²	semidirect
67. C₂³×C₄	C₂×C₄	semidirect
79. #123	C₂×C₄	semidirect
80. #123	C₂×C₄	semidirect
81. #123	C₂×C₄	semidirect
88. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
98. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
99. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#123	2
C₂×#518	2
C₂²×#117	2
#2359	2
#2344	2
#2342	2
#2322	2
#2315	2
#2308	2
C₄×#123	2
C₂×#381	2
#2273	2