Subgroups — #34200

Order 256.

1767 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 321 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#525	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#520	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂³×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2361	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2360	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2352	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	D₄×C₄⋊C₄	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2322	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2317	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#2311	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×#120	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#2280	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#2274	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂⁴×C₄	C₂²	1	2	yes	—
17	#525	C₄	1	16	yes	complemented
18	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
22	#520	—	2	8	no	—
23	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
24	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	8	yes	—
26	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
28	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
32	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
33	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
41	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#389	C₂²	1	8	yes	complemented
43	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
44	#387	C₂²	1	8	yes	complemented
45	#386	C₂²	1	4	yes	—
46	#386	C₂²	1	8	yes	—
47	#385	C₂²	1	4	yes	—
48	#385	C₂²	1	8	yes	—
49	#385	C₂²	1	8	yes	complemented
50	#384	C₂²	1	2	yes	complemented
51	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
52	#381	C₂²	1	2	yes	—
53	#380	C₂²	1	2	yes	—
54	#380	C₂²	1	2	yes	—
55	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#379	C₂²	1	2	yes	—
57	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
58	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
59	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
60	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
61	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
62	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×#41	—	2	4	no	—
64	C₂×#41	—	2	4	no	—
65	C₂×#41	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
66	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
71	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
72	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
73	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
74	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
75	C₂³×C₄	C₂³	1	8	yes	—
76	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	#123	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
85	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
86	#121	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
87	#120	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
88	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
89	C₄×D₄	—	2	16	no	—
90	C₄×D₄	—	2	8	no	—
91	C₄×D₄	—	4	16	no	—
92	C₄×D₄	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
93	#117	—	2	4	no	—
94	#117	—	2	4	no	—
95	#117	—	2	8	no	—
96	#117	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
97	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
98	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
99	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
100	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
101	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	complemented
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
105	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
128	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
129	#95	C₂³	1	8	yes	—
130	#95	C₂³	1	4	yes	—
131	#95	C₂³	1	4	yes	—
132	#95	C₂³	1	8	yes	—
133	#95	C₂³	1	8	yes	—
134	C₂⁴	—	2	2	no	—
135	C₂⁴	—	2	2	no	—
136	C₂⁴	—	2	4	no	—
137	C₂⁴	—	2	4	no	—
138	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
139	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
140	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
141	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
142	#41	—	2	32	no	—
143	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
144	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
145	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	complemented
146	C₂×D₄	—	2	4	no	—
147	C₂×D₄	—	2	4	no	—
148	C₂×D₄	—	2	8	no	—
149	C₂×D₄	—	2	8	no	—
150	C₂×D₄	—	2	2	no	—
151	C₂×D₄	—	2	2	no	—
152	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
153	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
154	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	complemented
155	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
168	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
173	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	complemented
178	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
180	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
191	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
192	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
196	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
197	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
199	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	complemented
200	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
201	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
202	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
203	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
206	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
207	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
208	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
209	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
210	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
211	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
212	C₄²	—	2	8	no	—
213	C₄²	—	2	4	no	—
214	C₄²	—	2	4	no	—
215	C₄²	—	4	8	no	—
216	C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	complemented
217	C₂³	—	2	8	no	—
218	C₂³	—	2	8	no	—
219	C₂³	—	2	16	no	—
220	C₂³	—	2	8	no	—
221	C₂³	—	2	16	no	—
222	C₂³	—	2	2	no	—
223	C₂³	—	2	2	no	—
224	C₂³	—	2	2	no	—
225	C₂³	—	2	2	no	—
226	C₂³	—	2	2	no	—
227	C₂³	—	2	2	no	—
228	C₂³	—	2	2	no	—
229	C₂³	—	2	2	no	—
230	C₂³	—	2	4	no	—
231	C₂³	—	2	4	no	—
232	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
233	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
234	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
235	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
236	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
237	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
238	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
239	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
240	Q₈	—	2	8	no	—
241	D₄	—	2	16	no	—
242	D₄	—	2	32	no	—
243	D₄	—	2	8	no	—
244	C₂×C₄	—	2	8	no	—
245	C₂×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	2	16	no	—
253	C₂×C₄	—	2	16	no	—
254	C₂×C₄	—	2	16	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂×C₄	—	2	8	no	—
262	C₂×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄	—	4	8	no	—
265	C₂×C₄	—	4	32	no	—
266	C₂×C₄	—	4	8	no	—
267	C₂×C₄	—	8	8	no	—
268	C₂×C₄	C₄×D₄	1	16	yes	complemented
269	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
270	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
271	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
272	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
273	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
275	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
279	C₂²	—	2	32	no	—
280	C₂²	—	2	4	no	—
281	C₂²	—	2	4	no	—
282	C₂²	—	2	4	no	—
283	C₂²	—	2	2	no	—
284	C₂²	—	2	4	no	—
285	C₂²	—	2	2	no	—
286	C₂²	—	2	4	no	—
287	C₂²	—	2	4	no	—
288	C₂²	—	2	4	no	—
289	C₂²	—	2	4	no	—
290	C₂²	—	2	4	no	—
291	C₂²	—	2	8	no	—
292	C₂²	—	4	2	no	—
293	C₂²	—	4	2	no	—
294	C₂²	—	4	4	no	—
295	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
296	C₂²	#520	1	8	yes	complemented
297	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
299	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
300	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
301	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
302	C₄	—	2	4	no	—
303	C₄	—	2	4	no	—
304	C₄	—	2	8	no	—
305	C₄	—	2	8	no	—
306	C₄	—	4	4	no	—
307	C₄	—	4	2	no	—
308	C₄	—	4	2	no	—
309	C₄	—	4	4	no	—
310	C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
311	C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
312	C₂	—	2	4	no	—
313	C₂	—	2	8	no	—
314	C₂	—	4	4	no	—
315	C₂	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
316	C₂	C₂×#520	1	2	yes	—
317	C₂	#3484	1	1	yes	characteristic
318	C₂	#3486	1	1	yes	characteristic
319	C₂	#3492	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂×#525	C₂
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#520	C₂	semidirect
3. C₂³×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
4. #2361	C₂	semidirect
5. #2360	C₂	semidirect
6. #2352	C₂	semidirect
7. D₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
8. #2322	C₂	semidirect
9. #2317	C₂	semidirect
10. #2311	C₂	semidirect
11. C₄×#120	C₂	semidirect
12. #2280	C₂	semidirect
13. #2274	C₂	semidirect
17. #525	C₄	semidirect
23. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
27. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
31. C₂×#117	C₂²	semidirect
38. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
39. #391	C₂²	semidirect
40. #390	C₂²	semidirect
41. #389	C₂²	semidirect
42. #389	C₂²	semidirect
43. #388	C₂²	semidirect
44. #387	C₂²	semidirect
49. #385	C₂²	semidirect
50. #384	C₂²	semidirect
51. #382	C₂²	semidirect
55. #380	C₂²	semidirect
57. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
58. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
65. C₂×#41	C₂×C₄	semidirect
74. C₂³×C₄	C₂×C₄	semidirect
84. #123	C₂×C₄	semidirect
85. C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
86. #121	C₂×C₄	semidirect
87. #120	C₂×C₄	semidirect
92. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
96. #117	C₂×C₄	semidirect
102. C₂×C₄⋊C₄	D₄	semidirect
145. C₂×Q₈	C₂²×C₄	semidirect
154. C₂×D₄	C₂²×C₄	semidirect
177. C₂²×C₄	C₂²×C₄	semidirect
199. C₄⋊C₄	C₂²×C₄	semidirect
200. C₄⋊C₄	C₂²×C₄	semidirect
211. C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	semidirect
216. C₄²	C₂²×C₄	semidirect
268. C₂×C₄	C₄×D₄	semidirect
296. C₂²	#520	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#525	2
C₂×#520	2
C₂³×C₄⋊C₄	2
#2361	2
#2360	2
#2352	2
D₄×C₄⋊C₄	2
#2322	2
#2317	2
#2311	2
C₄×#120	2
#2280	2
#2274	2