Subgroups — #34201

Order 256.

1559 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 315 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#525	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#520	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2363	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2362	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2354	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2352	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2321	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2317	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#2311	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×#123	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#2280	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#2274	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#525	C₄	1	16	yes	complemented
17	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
21	#520	—	2	8	no	—
22	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
23	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂×#117	—	2	8	no	—
27	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
33	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
36	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
38	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#390	C₂²	1	8	yes	—
40	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
41	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#388	C₂²	1	8	yes	—
43	#388	C₂²	1	8	yes	—
44	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
45	#387	C₂²	1	8	yes	complemented
46	#386	C₂²	1	4	yes	—
47	#386	C₂²	1	8	yes	—
48	#385	C₂²	1	4	yes	—
49	#384	C₂²	1	2	yes	complemented
50	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
51	#381	C₂²	1	2	yes	—
52	#380	C₂²	1	2	yes	—
53	#380	C₂²	1	2	yes	—
54	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#379	C₂²	1	2	yes	—
56	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
57	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
58	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
59	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
60	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
61	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
62	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×#41	—	2	4	no	—
64	C₂×#41	—	2	4	no	—
65	C₂×#41	C₂×C₄	1	8	yes	—
66	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
71	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
72	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
73	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	#123	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
82	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
83	#121	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
84	#120	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
85	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
86	C₄×D₄	—	2	16	no	—
87	C₄×D₄	—	2	8	no	—
88	C₄×D₄	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
89	#117	—	2	4	no	—
90	#117	—	2	4	no	—
91	#117	—	2	16	no	—
92	#117	—	2	16	no	—
93	#117	—	2	8	no	—
94	#117	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
95	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
96	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
97	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	complemented
98	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
105	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
120	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
121	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
122	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
126	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
127	#95	C₂³	1	4	yes	—
128	#95	C₂³	1	4	yes	—
129	#95	C₂³	1	8	yes	—
130	#95	C₂³	1	8	yes	—
131	#95	C₂³	1	8	yes	—
132	C₂⁴	—	2	2	no	—
133	C₂⁴	—	2	2	no	—
134	C₂⁴	—	4	2	no	—
135	C₂⁴	—	4	2	no	—
136	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
137	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
138	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
139	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
140	#41	—	2	32	no	—
141	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
142	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
143	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
144	C₂×D₄	—	2	4	no	—
145	C₂×D₄	—	2	4	no	—
146	C₂×D₄	—	2	2	no	—
147	C₂×D₄	—	2	2	no	—
148	C₂×D₄	—	4	4	no	—
149	C₂×D₄	—	4	4	no	—
150	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
151	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
152	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
153	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
164	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
167	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
168	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
174	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
185	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
187	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
189	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
191	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
192	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
193	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
194	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
195	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
196	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
200	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
202	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
203	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
204	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
205	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
206	C₄²	—	2	16	no	—
207	C₄²	—	2	8	no	—
208	C₄²	—	2	4	no	—
209	C₄²	—	2	4	no	—
210	C₄²	—	4	8	no	—
211	C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
212	C₂³	—	2	2	no	—
213	C₂³	—	2	2	no	—
214	C₂³	—	2	8	no	—
215	C₂³	—	2	2	no	—
216	C₂³	—	2	2	no	—
217	C₂³	—	2	2	no	—
218	C₂³	—	2	2	no	—
219	C₂³	—	2	4	no	—
220	C₂³	—	2	2	no	—
221	C₂³	—	2	2	no	—
222	C₂³	—	2	4	no	—
223	C₂³	—	2	2	no	—
224	C₂³	—	2	2	no	—
225	C₂³	—	4	8	no	—
226	C₂³	—	4	4	no	—
227	C₂³	—	4	4	no	—
228	C₂³	—	4	8	no	—
229	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
230	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
231	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
232	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
233	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
234	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
235	Q₈	—	2	8	no	—
236	D₄	—	2	16	no	—
237	D₄	—	2	8	no	—
238	D₄	—	4	16	no	—
239	C₂×C₄	—	2	8	no	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂×C₄	—	2	8	no	—
246	C₂×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂×C₄	—	2	16	no	—
248	C₂×C₄	—	2	16	no	—
249	C₂×C₄	—	2	16	no	—
250	C₂×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂×C₄	—	2	8	no	—
258	C₂×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂×C₄	—	4	8	no	—
260	C₂×C₄	—	4	8	no	—
261	C₂×C₄	—	8	8	no	—
262	C₂×C₄	C₄×D₄	1	16	yes	—
263	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
264	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
265	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
266	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
267	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
268	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
269	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
270	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
271	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
272	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
273	C₂²	—	2	4	no	—
274	C₂²	—	2	2	no	—
275	C₂²	—	2	2	no	—
276	C₂²	—	2	4	no	—
277	C₂²	—	2	4	no	—
278	C₂²	—	2	4	no	—
279	C₂²	—	2	4	no	—
280	C₂²	—	2	8	no	—
281	C₂²	—	2	4	no	—
282	C₂²	—	4	16	no	—
283	C₂²	—	4	2	no	—
284	C₂²	—	4	2	no	—
285	C₂²	—	4	2	no	—
286	C₂²	—	4	2	no	—
287	C₂²	—	4	4	no	—
288	C₂²	—	4	2	no	—
289	C₂²	—	4	2	no	—
290	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
291	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
294	C₂²	#585	1	2	yes	—
295	C₂²	#585	1	2	yes	—
296	C₄	—	2	4	no	—
297	C₄	—	2	4	no	—
298	C₄	—	2	8	no	—
299	C₄	—	2	8	no	—
300	C₄	—	4	2	no	—
301	C₄	—	4	2	no	—
302	C₄	—	4	4	no	—
303	C₄	—	4	4	no	—
304	C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
305	C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
306	C₂	—	2	4	no	—
307	C₂	—	4	4	no	—
308	C₂	—	4	4	no	—
309	C₂	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
310	C₂	#3428	1	2	yes	—
311	C₂	#3485	1	1	yes	characteristic
312	C₂	#3487	1	1	yes	characteristic
313	C₂	#3493	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂×#525	C₂
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#520	C₂	semidirect
3. C₂²×#117	C₂	semidirect
4. #2363	C₂	semidirect
5. #2362	C₂	semidirect
6. #2354	C₂	semidirect
7. #2352	C₂	semidirect
8. #2321	C₂	semidirect
9. #2317	C₂	semidirect
10. #2311	C₂	semidirect
11. C₄×#123	C₂	semidirect
12. #2280	C₂	semidirect
13. #2274	C₂	semidirect
16. #525	C₄	semidirect
22. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
25. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
32. C₂×#117	C₂²	semidirect
35. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
38. #391	C₂²	semidirect
40. #390	C₂²	semidirect
41. #389	C₂²	semidirect
44. #388	C₂²	semidirect
45. #387	C₂²	semidirect
49. #384	C₂²	semidirect
50. #382	C₂²	semidirect
54. #380	C₂²	semidirect
56. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
57. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
58. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
61. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
72. C₂³×C₄	C₂×C₄	semidirect
81. #123	C₂×C₄	semidirect
82. C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
83. #121	C₂×C₄	semidirect
84. #120	C₂×C₄	semidirect
88. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
94. #117	C₂×C₄	semidirect
97. C₂×C₄⋊C₄	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#525	2
C₂×#520	2
C₂²×#117	2
#2363	2
#2362	2
#2354	2
#2352	2
#2321	2
#2317	2
#2311	2
C₄×#123	2
#2280	2
#2274	2