Subgroups — #34209

Order 256.

1427 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 171 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#519	C₂	1	2	yes	maximal
3	#2365	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#2344	C₂	1	8	yes	maximal
5	#2327	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2310	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₄×C₄⋊Q₈	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂³×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄⋊Q₈	C₄	1	16	yes	complemented
12	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
15	#519	—	2	16	no	—
16	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	8	yes	—
18	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#117	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#391	C₂²	1	8	yes	—
25	#391	C₂²	1	8	yes	—
26	#389	C₂²	1	16	yes	—
27	#387	C₂²	1	32	yes	—
28	#384	C₂²	1	2	yes	—
29	#382	C₂²	1	2	yes	—
30	#381	C₂²	1	8	yes	—
31	#380	C₂²	1	4	yes	—
32	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	16	yes	—
33	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
34	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
35	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
36	#376	C₂²	1	2	yes	—
37	C₄³	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
39	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
40	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
41	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
47	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
48	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	32	yes	—
49	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
50	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
51	#117	—	2	8	no	—
52	#117	—	2	4	no	—
53	#117	—	2	32	no	—
54	#117	D₄	1	8	yes	—
55	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	32	yes	—
56	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
58	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
61	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
62	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	C₂×C₄²	C₂³	1	16	yes	—
68	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
71	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
75	#95	C₂³	1	8	yes	—
76	#95	C₂³	1	8	yes	—
77	#95	C₂³	1	32	yes	—
78	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
79	C₂×Q₈	—	2	64	no	—
80	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
81	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
82	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
83	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
84	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
85	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
86	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
87	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
88	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
89	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
90	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
91	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
92	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
93	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
94	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
95	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
96	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
97	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
98	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
99	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
102	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
103	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
104	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
105	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
106	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
107	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
108	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
109	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
110	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
111	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
112	C₄²	—	2	32	no	—
113	C₄²	—	2	8	no	—
114	C₄²	—	2	4	no	—
115	C₄²	—	2	16	no	—
116	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
117	C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
118	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
119	C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
120	C₂³	—	2	4	no	—
121	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
122	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
123	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
124	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
125	Q₈	—	2	32	no	—
126	Q₈	—	2	32	no	—
127	C₂×C₄	—	2	32	no	—
128	C₂×C₄	—	2	8	no	—
129	C₂×C₄	—	2	8	no	—
130	C₂×C₄	—	2	8	no	—
131	C₂×C₄	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄	—	2	16	no	—
133	C₂×C₄	—	2	8	no	—
134	C₂×C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄	—	2	8	no	—
136	C₂×C₄	—	2	16	no	—
137	C₂×C₄	C₄×D₄	1	16	yes	—
138	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
139	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	16	yes	—
140	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
143	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
144	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
147	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
148	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
149	C₂²	—	2	4	no	—
150	C₂²	—	2	4	no	—
151	C₂²	—	2	4	no	—
152	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
153	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
156	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
157	C₄	—	2	16	no	—
158	C₄	—	2	4	no	—
159	C₄	—	2	8	no	—
160	C₄	—	4	8	no	—
161	C₄	—	4	4	no	—
162	C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
163	C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
164	C₄	#519	1	8	yes	complemented
165	C₂	—	2	4	no	—
166	C₂	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂	C₂×#519	1	2	yes	—
168	C₂	#3499	1	2	yes	—
169	C₂	#3509	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂⁴	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #2365	C₂	semidirect
5. #2327	C₂	semidirect
7. C₄×C₄⋊Q₈	C₂	semidirect
11. C₂×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect
164. C₄	#519	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄⋊Q₈	2
C₂×#519	2
#2365	2
#2344	2
#2327	2
#2310	2
C₄×C₄⋊Q₈	2
#2285	2
C₄×#117	2