Subgroups — #34210

Order 256.

2003 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 191 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#518	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2366	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	D₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#2328	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2309	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₄×#127	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂³×D₄	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#127	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#127	C₂²	1	4	yes	—
16	#518	—	2	16	no	—
17	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	8	yes	complemented
18	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	8	yes	complemented
19	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	16	yes	complemented
20	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
24	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#390	C₂²	1	8	yes	complemented
26	#390	C₂²	1	16	yes	complemented
27	#390	C₂²	1	8	yes	complemented
28	#386	C₂²	1	32	yes	complemented
29	#384	C₂²	1	2	yes	complemented
30	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
31	#380	C₂²	1	4	yes	—
32	#379	C₂²	1	8	yes	—
33	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
34	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
35	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
36	#376	C₂²	1	2	yes	complemented
37	C₄³	C₂²	1	2	yes	complemented
38	C₂⁵	C₂³	1	4	yes	—
39	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
40	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
41	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
42	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
43	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
44	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
47	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
48	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂³×C₄	C₂³	1	16	yes	—
50	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	#127	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
52	#127	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
53	#127	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
54	C₄×D₄	—	2	32	no	—
55	C₄×D₄	—	2	32	no	—
56	C₄×D₄	—	4	32	no	—
57	#117	—	2	8	no	—
58	#117	—	2	4	no	—
59	#117	D₄	1	8	yes	complemented
60	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
63	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
65	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	32	yes	—
69	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
71	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
74	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
78	#95	C₂³	1	8	yes	—
79	#95	C₂³	1	8	yes	—
80	C₂⁴	—	2	8	no	—
81	C₂⁴	—	2	8	no	—
82	C₂⁴	—	4	16	no	—
83	C₂⁴	C₂²×C₄	1	16	yes	—
84	C₂⁴	C₂⁴	1	8	yes	—
85	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
86	C₂×D₄	—	2	64	no	—
87	C₂×D₄	—	2	8	no	—
88	C₂×D₄	—	2	8	no	—
89	C₂×D₄	—	2	8	no	—
90	C₂×D₄	—	2	8	no	—
91	C₂×D₄	—	2	32	no	—
92	C₂×D₄	—	4	64	no	—
93	C₂×D₄	—	4	16	no	—
94	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
95	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
96	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
97	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
98	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
99	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
100	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
101	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
102	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
103	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
104	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
105	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
106	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
107	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
108	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
109	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
112	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
113	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
114	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
115	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
116	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
117	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
118	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
119	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
120	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
121	C₄²	—	2	8	no	—
122	C₄²	—	2	4	no	—
123	C₄²	—	2	16	no	—
124	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
125	C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
126	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
127	C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
128	C₂³	—	2	4	no	—
129	C₂³	—	2	8	no	—
130	C₂³	—	2	8	no	—
131	C₂³	—	2	32	no	—
132	C₂³	—	2	32	no	—
133	C₂³	—	4	32	no	—
134	C₂³	—	8	16	no	—
135	C₂³	—	8	16	no	—
136	C₂³	C₂³×C₄	1	16	yes	—
137	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
138	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
139	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
140	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
141	D₄	—	2	32	no	—
142	D₄	—	2	32	no	—
143	D₄	—	2	64	no	—
144	D₄	—	4	32	no	—
145	C₂×C₄	—	2	8	no	—
146	C₂×C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄	—	2	16	no	—
148	C₂×C₄	—	2	8	no	—
149	C₂×C₄	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄	—	2	8	no	—
151	C₂×C₄	—	2	16	no	—
152	C₂×C₄	—	8	32	no	—
153	C₂×C₄	C₄×D₄	1	16	yes	complemented
154	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
155	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
158	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
159	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
162	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
163	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
164	C₂²	—	2	4	no	—
165	C₂²	—	2	4	no	—
166	C₂²	—	2	4	no	—
167	C₂²	—	2	16	no	—
168	C₂²	—	2	32	no	—
169	C₂²	—	4	16	no	—
170	C₂²	—	4	16	no	—
171	C₂²	—	8	32	no	—
172	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
173	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
176	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
177	C₄	—	2	4	no	—
178	C₄	—	2	8	no	—
179	C₄	—	4	8	no	—
180	C₄	—	4	4	no	—
181	C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
182	C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
183	C₄	#518	1	8	yes	complemented
184	C₂	—	2	4	no	—
185	C₂	—	4	16	no	—
186	C₂	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂	C₂×#518	1	2	yes	—
188	C₂	#3498	1	2	yes	—
189	C₂	#3508	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂²×#127	C₂
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#518	C₂	semidirect
3. #2366	C₂	semidirect
4. D₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
5. #2328	C₂	semidirect
6. #2309	C₂	semidirect
7. C₄×#127	C₂	semidirect
8. #2285	C₂	semidirect
9. C₄×#117	C₂	semidirect
12. C₂×#127	C₄	semidirect
17. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
18. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
19. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
25. #390	C₂²	semidirect
26. #390	C₂²	semidirect
27. #390	C₂²	semidirect
28. #386	C₂²	semidirect
29. #384	C₂²	semidirect
30. #382	C₂²	semidirect
33. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
34. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
36. #376	C₂²	semidirect
37. C₄³	C₂²	semidirect
42. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
43. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
51. #127	C₂×C₄	semidirect
52. #127	C₂×C₄	semidirect
53. #127	C₂×C₄	semidirect
59. #117	D₄	semidirect
70. C₂×C₄²	C₂×C₄	semidirect
115. C₄⋊C₄	C₂×D₄	semidirect
127. C₄²	C₂×D₄	semidirect
153. C₂×C₄	C₄×D₄	semidirect
183. C₄	#518	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#127	2
C₂×#518	2
#2366	2
D₄×C₂²⋊C₄	2
#2328	2
#2309	2
C₄×#127	2
#2285	2
C₄×#117	2