Subgroups — #34211

Order 256.

1551 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 239 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#519	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#518	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#2367	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#2342	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#2326	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2310	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#2309	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₄×#124	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#124	C₄	1	16	yes	complemented
15	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
18	#519	—	2	8	no	—
19	#518	—	2	8	no	—
20	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
22	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#391	C₂²	1	4	yes	complemented
33	#391	C₂²	1	4	yes	complemented
34	#390	C₂²	1	4	yes	—
35	#390	C₂²	1	4	yes	—
36	#388	C₂²	1	16	yes	complemented
37	#388	C₂²	1	16	yes	complemented
38	#385	C₂²	1	16	yes	complemented
39	#384	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
41	#381	C₂²	1	4	yes	—
42	#380	C₂²	1	4	yes	—
43	#379	C₂²	1	4	yes	—
44	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
45	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
46	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
47	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	16	yes	complemented
48	#376	C₂²	1	2	yes	complemented
49	C₄³	C₂²	1	2	yes	complemented
50	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
52	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
53	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
54	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
57	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
58	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
59	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂³×C₄	C₂³	1	8	yes	—
63	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#124	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
66	#124	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
67	#124	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
68	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
69	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
70	C₄×D₄	—	2	16	no	—
71	C₄×D₄	—	2	16	no	—
72	#117	—	2	4	no	—
73	#117	—	2	4	no	—
74	#117	—	2	4	no	—
75	#117	—	2	16	no	—
76	#117	D₄	1	8	yes	—
77	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
85	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
91	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
94	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
96	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
99	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
103	#95	C₂³	1	8	yes	—
104	#95	C₂³	1	8	yes	—
105	#95	C₂³	1	16	yes	—
106	C₂⁴	—	2	4	no	—
107	C₂⁴	—	2	4	no	—
108	C₂⁴	—	4	8	no	—
109	C₂⁴	C₂²×C₄	1	8	yes	—
110	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
111	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
112	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
113	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
114	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
115	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
116	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
117	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
118	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
119	C₂×D₄	—	2	32	no	—
120	C₂×D₄	—	2	4	no	—
121	C₂×D₄	—	2	4	no	—
122	C₂×D₄	—	2	4	no	—
123	C₂×D₄	—	2	4	no	—
124	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
125	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
126	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
129	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
130	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
131	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
132	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
133	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
134	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
135	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
136	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
137	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
138	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
139	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
140	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
141	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
142	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
143	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
145	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
147	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
148	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
150	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
151	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
152	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
155	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
156	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
157	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
158	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
159	C₄²	—	2	4	no	—
160	C₄²	—	2	16	no	—
161	C₄²	—	2	4	no	—
162	C₄²	—	2	4	no	—
163	C₄²	—	4	8	no	—
164	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
165	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
166	C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
167	C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
168	C₂³	—	2	4	no	—
169	C₂³	—	2	4	no	—
170	C₂³	—	2	4	no	—
171	C₂³	—	2	16	no	—
172	C₂³	—	2	16	no	—
173	C₂³	—	4	16	no	—
174	C₂³	—	8	8	no	—
175	C₂³	—	8	8	no	—
176	C₂³	C₂³×C₄	1	8	yes	—
177	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
178	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
179	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
180	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
181	Q₈	—	2	16	no	—
182	Q₈	—	2	16	no	—
183	D₄	—	2	16	no	—
184	D₄	—	2	16	no	—
185	C₂×C₄	—	2	16	no	—
186	C₂×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄	—	2	8	no	—
190	C₂×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₄	—	2	8	no	—
195	C₂×C₄	—	2	8	no	—
196	C₂×C₄	—	2	8	no	—
197	C₂×C₄	—	4	8	no	—
198	C₂×C₄	—	8	16	no	—
199	C₂×C₄	C₄×D₄	1	16	yes	—
200	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
201	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
202	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
203	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
204	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
205	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
206	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
207	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
208	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
209	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
210	C₂²	—	2	4	no	—
211	C₂²	—	2	4	no	—
212	C₂²	—	2	4	no	—
213	C₂²	—	2	8	no	—
214	C₂²	—	2	16	no	—
215	C₂²	—	4	8	no	—
216	C₂²	—	4	8	no	—
217	C₂²	—	8	16	no	—
218	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
219	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
222	C₂²	#585	1	4	yes	—
223	C₄	—	2	8	no	—
224	C₄	—	2	4	no	—
225	C₄	—	2	4	no	—
226	C₄	—	2	8	no	—
227	C₄	—	4	4	no	—
228	C₄	—	4	4	no	—
229	C₄	—	4	4	no	—
230	C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
231	C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
232	C₂	—	2	4	no	—
233	C₂	—	4	8	no	—
234	C₂	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂	#3428	1	2	yes	—
236	C₂	#3500	1	2	yes	—
237	C₂	#3510	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂³×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#519	C₂	semidirect
4. #2367	C₂	semidirect
5. #2342	C₂	semidirect
6. #2326	C₂	semidirect
7. #2310	C₂	semidirect
9. C₄×#124	C₂	semidirect
10. #2285	C₂	semidirect
11. C₄×#117	C₂	semidirect
14. C₂×#124	C₄	semidirect
20. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
21. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
32. #391	C₂²	semidirect
33. #391	C₂²	semidirect
36. #388	C₂²	semidirect
37. #388	C₂²	semidirect
38. #385	C₂²	semidirect
39. #384	C₂²	semidirect
40. #382	C₂²	semidirect
44. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
45. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
47. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
48. #376	C₂²	semidirect
49. C₄³	C₂²	semidirect
53. C₂²×Q₈	C₂×C₄	semidirect
65. #124	C₂×C₄	semidirect
66. #124	C₂×C₄	semidirect
67. #124	C₂×C₄	semidirect
84. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
93. C₂×C₄²	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#124	2
C₂×#519	2
C₂×#518	2
#2367	2
#2342	2
#2326	2
#2310	2
#2309	2
C₄×#124	2
#2285	2
C₄×#117	2