Subgroups — #34214

Order 256.

1155 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 189 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2360	C₂	1	8	yes	maximal
3	#2355	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	Q₈×C₄⋊C₄	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2330	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2317	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₄×C₄⋊Q₈	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂×#384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#2274	C₂	1	2	yes	maximal
10	C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	#533	C₄	1	16	yes	complemented
12	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	8	yes	—
16	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#391	C₂²	1	8	yes	—
24	#389	C₂²	1	8	yes	—
25	#389	C₂²	1	8	yes	—
26	#389	C₂²	1	16	yes	—
27	#387	C₂²	1	16	yes	—
28	#385	C₂²	1	8	yes	—
29	#384	C₂²	1	2	yes	—
30	#384	C₂²	1	4	yes	—
31	#384	C₂²	1	2	yes	—
32	#384	C₂²	1	4	yes	—
33	#382	C₂²	1	4	yes	—
34	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
35	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
36	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
37	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
38	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
39	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
40	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
41	#376	C₂²	1	2	yes	—
42	C₄³	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
48	#125	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
49	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	32	yes	—
50	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
51	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
52	#117	—	2	4	no	—
53	#117	C₂×C₄	1	16	yes	—
54	#117	Q₈	1	8	yes	complemented
55	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
56	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
57	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
58	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
63	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
66	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
72	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂×C₄²	C₂³	1	16	yes	—
76	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
81	#95	C₂³	1	4	yes	—
82	#95	C₂³	1	4	yes	—
83	#95	C₂³	1	16	yes	—
84	#95	C₂³	1	16	yes	—
85	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
86	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
87	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
88	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
89	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
90	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
91	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
92	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
93	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
94	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
95	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
96	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
97	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
98	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
99	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
100	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
101	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
102	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
103	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
106	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
107	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
108	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
109	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
110	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
111	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
112	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
113	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
114	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
115	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
116	C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
117	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
118	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
119	C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
120	C₄²	—	2	4	no	—
121	C₄²	—	2	8	no	—
122	C₄²	—	2	8	no	—
123	C₄²	—	4	16	no	—
124	C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
125	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
126	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
127	C₄²	C₂²×C₄	1	16	yes	—
128	C₄²	C₂×Q₈	1	8	yes	—
129	C₂³	—	2	2	no	—
130	C₂³	—	2	2	no	—
131	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
132	C₂³	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
133	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
134	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
135	Q₈	—	2	32	no	—
136	C₂×C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄	—	2	8	no	—
138	C₂×C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄	—	2	8	no	—
142	C₂×C₄	—	2	16	no	—
143	C₂×C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄	—	2	8	no	—
146	C₂×C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄	—	2	16	no	—
148	C₂×C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄	—	8	8	no	—
150	C₂×C₄	C₄×Q₈	1	16	yes	complemented
151	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
152	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	16	yes	—
153	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
156	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
157	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
158	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
159	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
160	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
161	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
162	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
163	C₂²	—	2	4	no	—
164	C₂²	—	2	4	no	—
165	C₂²	—	2	2	no	—
166	C₂²	—	2	2	no	—
167	C₂²	C₂×C₄×Q₈	1	4	yes	—
168	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂²	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
170	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
171	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
172	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
173	C₄	—	2	4	no	—
174	C₄	—	2	16	no	—
175	C₄	—	2	8	no	—
176	C₄	—	4	2	no	—
177	C₄	—	4	8	no	—
178	C₄	—	4	2	no	—
179	C₄	C₂×C₄×Q₈	1	4	yes	—
180	C₄	C₂×C₄×Q₈	1	4	yes	—
181	C₄	#520	1	8	yes	—
182	C₂	—	2	4	no	—
183	C₂	C₂²×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
184	C₂	C₂×#520	1	2	yes	—
185	C₂	#3503	1	2	yes	—
186	C₂	#3508	1	1	yes	characteristic
187	C₂	#3509	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂⁴	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #2355	C₂	semidirect
4. Q₈×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
5. #2330	C₂	semidirect
7. C₄×C₄⋊Q₈	C₂	semidirect
11. #533	C₄	semidirect
47. C₄⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
48. #125	C₂×C₄	semidirect
51. C₄×Q₈	C₂×C₄	semidirect
54. #117	Q₈	semidirect
150. C₂×C₄	C₄×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#533	2
#2360	2
#2355	2
Q₈×C₄⋊C₄	2
#2330	2
#2317	2
C₄×C₄⋊Q₈	2
C₂×#384	2
#2274	2
C₄×#117	2