Subgroups — #34216

Order 256.

1211 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 208 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2369	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#2365	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#2345	C₂	1	4	yes	maximal
5	Q₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	4	yes	maximal
6	#2331	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2316	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₄×C₄⋊Q₈	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#2274	C₂	1	2	yes	maximal
11	C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂³×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄⋊Q₈	C₄	1	16	yes	complemented
14	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	8	yes	—
19	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#391	C₂²	1	8	yes	—
26	#391	C₂²	1	16	yes	—
27	#389	C₂²	1	8	yes	—
28	#389	C₂²	1	8	yes	—
29	#389	C₂²	1	8	yes	—
30	#387	C₂²	1	16	yes	—
31	#384	C₂²	1	2	yes	—
32	#382	C₂²	1	2	yes	—
33	#380	C₂²	1	8	yes	—
34	#380	C₂²	1	2	yes	—
35	#380	C₂²	1	2	yes	—
36	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
37	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
38	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
39	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
40	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
41	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
42	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
43	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
44	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
45	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
46	#376	C₂²	1	2	yes	—
47	C₄³	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
49	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
50	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
57	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
58	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
59	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
60	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
61	#117	—	2	4	no	—
62	#117	—	2	8	no	—
63	#117	Q₈	1	8	yes	complemented
64	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
66	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
80	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×C₄²	C₂³	1	16	yes	—
85	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
90	#95	C₂³	1	4	yes	—
91	#95	C₂³	1	4	yes	—
92	#95	C₂³	1	16	yes	—
93	#95	C₂³	1	4	yes	—
94	#95	C₂³	1	4	yes	—
95	#95	C₂³	1	16	yes	—
96	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
97	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
98	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
99	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
100	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
101	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
102	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
103	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
104	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
105	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
106	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
107	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
108	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
109	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
110	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
111	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
112	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
113	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
116	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
117	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
121	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
122	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
123	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
124	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
125	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
126	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
127	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
128	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
129	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
130	C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
131	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
133	C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
134	C₄²	—	2	8	no	—
135	C₄²	—	2	4	no	—
136	C₄²	—	2	8	no	—
137	C₄²	—	2	8	no	—
138	C₄²	—	4	16	no	—
139	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
140	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
141	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
142	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
143	C₄²	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
144	C₂³	—	2	2	no	—
145	C₂³	—	2	2	no	—
146	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
147	C₂³	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
148	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
149	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
150	Q₈	—	2	32	no	—
151	Q₈	—	4	16	no	—
152	C₂×C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄	—	2	16	no	—
154	C₂×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄	—	2	8	no	—
158	C₂×C₄	—	2	8	no	—
159	C₂×C₄	—	2	4	no	—
160	C₂×C₄	—	2	8	no	—
161	C₂×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄	—	2	8	no	—
163	C₂×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄	—	2	8	no	—
165	C₂×C₄	—	4	16	no	—
166	C₂×C₄	C₄×Q₈	1	16	yes	complemented
167	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	16	yes	—
170	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
175	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
176	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
177	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
178	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
179	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
180	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
181	C₂²	—	2	2	no	—
182	C₂²	—	2	2	no	—
183	C₂²	—	2	4	no	—
184	C₂²	—	2	4	no	—
185	C₂²	C₂×C₄×Q₈	1	4	yes	—
186	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂²	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
188	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
189	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
190	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
191	C₄	—	2	2	no	—
192	C₄	—	2	16	no	—
193	C₄	—	2	2	no	—
194	C₄	—	2	8	no	—
195	C₄	—	4	4	no	—
196	C₄	—	4	8	no	—
197	C₄	C₂×C₄×Q₈	1	4	yes	—
198	C₄	C₂×C₄×Q₈	1	4	yes	—
199	C₄	#518	1	4	yes	—
200	C₄	#519	1	4	yes	—
201	C₂	—	2	4	no	—
202	C₂	C₂²×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
203	C₂	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
204	C₂	C₂×#519	1	1	yes	characteristic
205	C₂	#3503	1	2	yes	—
206	C₂	#3511	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂⁴	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2369	C₂	semidirect
3. #2365	C₂	semidirect
6. #2331	C₂	semidirect
8. C₄×C₄⋊Q₈	C₂	semidirect
13. C₂×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect
63. #117	Q₈	semidirect
130. C₄⋊C₄	C₂×Q₈	semidirect
143. C₄²	C₂×Q₈	semidirect
166. C₂×C₄	C₄×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄⋊Q₈	2
#2369	2
#2365	2
#2345	2
Q₈×C₂²⋊C₄	2
#2331	2
#2316	2
C₄×C₄⋊Q₈	2
#2285	2
#2274	2
C₄×#117	2