Subgroups — #34221

Order 256.

1069 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 218 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2371	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#2368	C₂	1	4	yes	maximal
4	#2356	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2343	C₂	1	4	yes	maximal
6	#2331	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2327	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2320	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₄×C₂²⋊Q₈	C₂	1	4	yes	maximal
10	#2283	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	#2276	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂×#376	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
13	#533	C₄	1	16	yes	complemented
14	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#391	C₂²	1	4	yes	—
26	#391	C₂²	1	8	yes	—
27	#389	C₂²	1	4	yes	—
28	#387	C₂²	1	8	yes	—
29	#387	C₂²	1	8	yes	—
30	#387	C₂²	1	8	yes	—
31	#387	C₂²	1	8	yes	—
32	#387	C₂²	1	8	yes	—
33	#385	C₂²	1	8	yes	—
34	#383	C₂²	1	4	yes	—
35	#383	C₂²	1	2	yes	—
36	#382	C₂²	1	4	yes	—
37	#382	C₂²	1	2	yes	—
38	#381	C₂²	1	2	yes	—
39	#380	C₂²	1	2	yes	—
40	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
41	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
42	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
43	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
44	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
45	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
46	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
47	#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	#376	C₂²	1	2	yes	—
49	#376	C₂²	1	4	yes	—
50	#376	C₂²	1	2	yes	—
51	#376	C₂²	1	2	yes	—
52	#376	C₂²	1	2	yes	—
53	#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
55	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
56	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
63	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
64	#125	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
65	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
66	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
67	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
68	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
69	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
70	#117	C₂×C₄	1	16	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
74	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
83	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
84	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
85	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
89	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
95	#95	C₂³	1	2	yes	—
96	#95	C₂³	1	2	yes	—
97	#95	C₂³	1	2	yes	—
98	#95	C₂³	1	2	yes	—
99	#95	C₂³	1	4	yes	—
100	#95	C₂³	1	4	yes	—
101	#95	C₂³	1	4	yes	—
102	#95	C₂³	1	4	yes	—
103	#95	C₂³	1	8	yes	—
104	#95	C₂³	1	4	yes	—
105	#95	C₂³	1	4	yes	—
106	#95	C₂³	1	8	yes	—
107	#95	C₂³	1	8	yes	—
108	#95	C₂³	1	8	yes	—
109	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
110	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
111	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
112	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
113	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
114	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
115	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
116	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
117	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
118	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
119	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
120	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
121	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
122	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
123	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
124	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
125	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
131	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
132	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
133	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
134	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
135	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
136	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
137	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
138	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
139	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
140	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
141	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
142	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
143	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
144	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
145	C₄²	—	2	8	no	—
146	C₄²	—	2	4	no	—
147	C₄²	—	2	16	no	—
148	C₄²	—	4	8	no	—
149	C₄²	—	4	4	no	—
150	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
151	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
152	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
153	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
154	C₄²	C₂²×C₄	1	16	yes	—
155	C₄²	#41	1	8	yes	—
156	C₂³	—	2	2	no	—
157	C₂³	—	2	2	no	—
158	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
159	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
160	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
161	Q₈	—	2	16	no	—
162	Q₈	—	4	8	no	—
163	C₂×C₄	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄	—	2	8	no	—
166	C₂×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄	—	2	8	no	—
175	C₂×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄	—	2	8	no	—
177	C₂×C₄	—	2	8	no	—
178	C₂×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂×C₄	—	2	8	no	—
180	C₂×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂×C₄	—	4	4	no	—
182	C₂×C₄	—	4	16	no	—
183	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
189	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
190	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
192	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
193	C₂²	—	2	2	no	—
194	C₂²	—	2	2	no	—
195	C₂²	—	2	8	no	—
196	C₂²	#519	1	4	yes	—
197	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
199	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
200	C₂²	#585	1	2	yes	—
201	C₄	—	2	2	no	—
202	C₄	—	2	8	no	—
203	C₄	—	2	2	no	—
204	C₄	—	2	2	no	—
205	C₄	—	2	2	no	—
206	C₄	—	2	2	no	—
207	C₄	—	2	8	no	—
208	C₄	—	2	8	no	—
209	C₄	—	4	8	no	—
210	C₄	—	4	4	no	—
211	C₄	C₄×#41	1	4	yes	—
212	C₂	—	2	4	no	—
213	C₂	C₂×C₄×#41	1	1	yes	characteristic
214	C₂	C₂×#519	1	1	yes	characteristic
215	C₂	#3428	1	1	yes	characteristic
216	C₂	#3495	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂⁴	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2371	C₂	semidirect
4. #2356	C₂	semidirect
6. #2331	C₂	semidirect
7. #2327	C₂	semidirect
8. #2320	C₂	semidirect
11. #2276	C₂	semidirect
13. #533	C₄	semidirect
62. C₄⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
63. C₄⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
64. #125	C₂×C₄	semidirect
68. C₄×Q₈	C₂×C₄	semidirect
69. C₄×Q₈	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#533	2
#2371	2
#2368	2
#2356	2
#2343	2
#2331	2
#2327	2
#2320	2
C₄×C₂²⋊Q₈	2
#2283	2
#2276	2
C₂×#376	2