Subgroups — #34224

Order 256.

1165 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 343 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#529	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2373	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#2370	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2367	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2357	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#2356	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#2351	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#2349	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#2347	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2343	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2322	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#2318	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	C₄×C₂²⋊Q₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	C₄×#121	C₂	1	2	yes	maximal
15	#2283	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#2275	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
17	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	#529	C₄	1	16	yes	complemented
19	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#391	C₂²	1	2	yes	—
36	#390	C₂²	1	2	yes	—
37	#389	C₂²	1	4	yes	—
38	#389	C₂²	1	4	yes	—
39	#389	C₂²	1	2	yes	—
40	#389	C₂²	1	2	yes	—
41	#388	C₂²	1	4	yes	—
42	#388	C₂²	1	4	yes	—
43	#388	C₂²	1	4	yes	—
44	#388	C₂²	1	4	yes	—
45	#387	C₂²	1	4	yes	—
46	#387	C₂²	1	4	yes	—
47	#387	C₂²	1	4	yes	—
48	#387	C₂²	1	4	yes	—
49	#386	C₂²	1	4	yes	—
50	#385	C₂²	1	4	yes	—
51	#385	C₂²	1	4	yes	—
52	#385	C₂²	1	4	yes	—
53	#383	C₂²	1	2	yes	—
54	#383	C₂²	1	2	yes	—
55	#382	C₂²	1	2	yes	—
56	#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
57	#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
58	#381	C₂²	1	2	yes	—
59	#381	C₂²	1	2	yes	—
60	#380	C₂²	1	2	yes	—
61	#380	C₂²	1	2	yes	—
62	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
63	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
64	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
65	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
66	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
67	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
68	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
69	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
70	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
71	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
72	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
73	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
74	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
75	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
76	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
77	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
78	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
79	#376	C₂²	1	2	yes	—
80	#376	C₂²	1	2	yes	—
81	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
82	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
83	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
94	#126	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
95	#125	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
96	#124	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
97	#123	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
98	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
99	#121	C₂×C₄	1	8	yes	—
100	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
101	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
102	C₄×D₄	—	2	16	no	—
103	C₄×D₄	—	4	4	no	—
104	C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
105	C₄×D₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
106	#117	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
107	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
133	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
134	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
135	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
147	#95	C₂³	1	1	yes	characteristic
148	#95	C₂³	1	1	yes	characteristic
149	#95	C₂³	1	2	yes	—
150	#95	C₂³	1	2	yes	—
151	#95	C₂³	1	4	yes	—
152	#95	C₂³	1	1	yes	characteristic
153	#95	C₂³	1	1	yes	characteristic
154	#95	C₂³	1	2	yes	—
155	#95	C₂³	1	2	yes	—
156	#95	C₂³	1	4	yes	—
157	#95	C₂³	1	4	yes	—
158	#95	C₂³	1	2	yes	—
159	#95	C₂³	1	2	yes	—
160	#95	C₂³	1	4	yes	—
161	#95	C₂³	1	4	yes	—
162	#95	C₂³	1	4	yes	—
163	#95	C₂³	1	4	yes	—
164	#95	C₂³	1	4	yes	—
165	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
166	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
167	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
168	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
169	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
170	C₂×D₄	—	2	8	no	—
171	C₂×D₄	—	2	2	no	—
172	C₂×D₄	—	2	2	no	—
173	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
174	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
175	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
188	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
192	C₂²×C₄	#41	1	8	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
208	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
209	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
210	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
211	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
212	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
213	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
214	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
215	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
216	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
217	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
218	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
219	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
220	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
221	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
222	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
223	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
224	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
225	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
228	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
229	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
230	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
231	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
232	C₄²	—	2	8	no	—
233	C₄²	—	2	4	no	—
234	C₄²	—	2	4	no	—
235	C₄²	—	4	2	no	—
236	C₄²	—	4	2	no	—
237	C₄²	—	4	4	no	—
238	C₄²	—	4	4	no	—
239	C₄²	—	4	4	no	—
240	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
241	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
242	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
243	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
244	C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
245	C₂³	—	2	1	no	—
246	C₂³	—	2	1	no	—
247	C₂³	—	2	2	no	—
248	C₂³	—	2	4	no	—
249	C₂³	—	2	2	no	—
250	C₂³	—	2	2	no	—
251	C₂³	—	2	4	no	—
252	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
253	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
254	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
255	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
256	Q₈	—	2	8	no	—
257	D₄	—	2	16	no	—
258	D₄	—	2	8	no	—
259	C₂×C₄	—	2	8	no	—
260	C₂×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	1	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	1	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	8	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	4	4	no	—
288	C₂×C₄	—	4	8	no	—
289	C₂×C₄	—	4	8	no	—
290	C₂×C₄	—	4	8	no	—
291	C₂×C₄	—	8	8	no	—
292	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
298	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
299	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
300	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
303	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
305	C₂²	—	2	2	no	—
306	C₂²	—	2	2	no	—
307	C₂²	—	2	4	no	—
308	C₂²	—	2	4	no	—
309	C₂²	—	2	4	no	—
310	C₂²	—	2	4	no	—
311	C₂²	—	2	4	no	—
312	C₂²	—	4	4	no	—
313	C₂²	—	4	4	no	—
314	C₂²	C₄×#41	1	4	yes	—
315	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
316	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
317	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	#585	1	2	yes	—
320	C₄	—	2	2	no	—
321	C₄	—	2	2	no	—
322	C₄	—	2	4	no	—
323	C₄	—	2	2	no	—
324	C₄	—	2	4	no	—
325	C₄	—	2	2	no	—
326	C₄	—	2	2	no	—
327	C₄	—	2	4	no	—
328	C₄	—	2	4	no	—
329	C₄	—	2	4	no	—
330	C₄	—	4	2	no	—
331	C₄	—	4	2	no	—
332	C₄	—	4	4	no	—
333	C₄	—	4	4	no	—
334	C₄	#520	1	4	yes	—
335	C₂	—	2	4	no	—
336	C₂	—	4	4	no	—
337	C₂	C₂×C₄×#41	1	1	yes	characteristic
338	C₂	C₂×#520	1	1	yes	characteristic
339	C₂	#3428	1	1	yes	characteristic
340	C₂	#3505	1	2	yes	—
341	C₂	#3507	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂×#121	C₂²
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2373	C₂	semidirect
3. #2370	C₂	semidirect
4. #2367	C₂	semidirect
5. #2357	C₂	semidirect
6. #2356	C₂	semidirect
7. #2351	C₂	semidirect
8. #2349	C₂	semidirect
9. #2347	C₂	semidirect
10. #2343	C₂	semidirect
11. #2322	C₂	semidirect
12. #2318	C₂	semidirect
13. C₄×C₂²⋊Q₈	C₂	semidirect
15. #2283	C₂	semidirect
16. #2275	C₂	semidirect
17. C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
18. #529	C₄	semidirect
94. #126	C₂×C₄	semidirect
95. #125	C₂×C₄	semidirect
96. #124	C₂×C₄	semidirect
97. #123	C₂×C₄	semidirect
98. C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
101. C₄×Q₈	C₂×C₄	semidirect
104. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
105. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
106. #117	C₂×C₄	semidirect
133. C₂×C₄²	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#529	2
#2373	2
#2370	2
#2367	2
#2357	2
#2356	2
#2351	2
#2349	2
#2347	2
#2343	2
#2322	2
#2318	2
C₄×C₂²⋊Q₈	2
C₄×#121	2
#2283	2
#2275	2
C₂×C₄×C₄⋊C₄	2