Subgroups — #34231

Order 256.

1047 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 240 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2369	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2365	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2362	C₂	1	4	yes	maximal
5	#2356	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2347	C₂	1	2	yes	maximal
7	#2346	C₂	1	2	yes	maximal
8	#2332	C₂	1	4	yes	maximal
9	#2320	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₄×#125	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2283	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	#2276	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
14	#533	C₄	1	16	yes	complemented
15	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#391	C₂²	1	4	yes	—
27	#391	C₂²	1	8	yes	—
28	#389	C₂²	1	4	yes	—
29	#389	C₂²	1	4	yes	—
30	#389	C₂²	1	4	yes	—
31	#388	C₂²	1	8	yes	—
32	#388	C₂²	1	8	yes	—
33	#387	C₂²	1	8	yes	—
34	#387	C₂²	1	8	yes	—
35	#387	C₂²	1	8	yes	—
36	#383	C₂²	1	4	yes	—
37	#383	C₂²	1	2	yes	—
38	#382	C₂²	1	2	yes	—
39	#382	C₂²	1	4	yes	—
40	#381	C₂²	1	2	yes	—
41	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
44	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
45	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
46	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
47	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
49	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
50	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
51	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
52	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
53	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
54	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
55	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
56	#376	C₂²	1	2	yes	—
57	#376	C₂²	1	4	yes	—
58	#376	C₂²	1	2	yes	—
59	C₄³	C₂²	1	2	yes	—
60	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
66	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	#125	C₂×C₄	1	16	yes	—
68	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
69	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
70	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
71	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
72	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
73	#117	—	2	8	no	—
74	#117	C₂×C₄	1	16	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
77	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
92	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
95	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
99	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	#95	C₂³	1	2	yes	—
105	#95	C₂³	1	2	yes	—
106	#95	C₂³	1	2	yes	—
107	#95	C₂³	1	4	yes	—
108	#95	C₂³	1	2	yes	—
109	#95	C₂³	1	4	yes	—
110	#95	C₂³	1	8	yes	—
111	#95	C₂³	1	4	yes	—
112	#95	C₂³	1	4	yes	—
113	#95	C₂³	1	8	yes	—
114	#95	C₂³	1	8	yes	—
115	#95	C₂³	1	8	yes	—
116	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
117	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
118	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
119	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
120	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
121	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
122	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
124	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
125	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
126	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
127	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
128	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
129	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
130	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
131	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
132	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
137	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
138	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
139	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
141	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
143	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
146	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
147	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
148	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
149	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
150	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
151	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
152	C₄⋊C₄	#41	1	8	yes	—
153	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
154	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
155	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
156	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
157	C₄²	—	2	8	no	—
158	C₄²	—	2	16	no	—
159	C₄²	—	2	8	no	—
160	C₄²	—	2	8	no	—
161	C₄²	—	4	2	no	—
162	C₄²	—	4	8	no	—
163	C₄²	—	4	2	no	—
164	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
165	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
166	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
167	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
168	C₄²	C₂²×C₄	1	16	yes	—
169	C₂³	—	2	2	no	—
170	C₂³	—	2	2	no	—
171	C₂³	—	2	1	no	—
172	C₂³	—	2	1	no	—
173	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
174	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
175	Q₈	—	2	16	no	—
176	Q₈	—	4	8	no	—
177	C₂×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄	—	2	8	no	—
179	C₂×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂×C₄	—	2	1	no	—
183	C₂×C₄	—	2	1	no	—
184	C₂×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄	—	2	1	no	—
187	C₂×C₄	—	2	1	no	—
188	C₂×C₄	—	2	8	no	—
189	C₂×C₄	—	2	8	no	—
190	C₂×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₄	—	4	4	no	—
200	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
201	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
202	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
203	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
204	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
205	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
206	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
207	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
208	C₂×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
209	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
210	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
211	C₂²	—	2	2	no	—
212	C₂²	—	2	2	no	—
213	C₂²	—	2	2	no	—
214	C₂²	—	4	2	no	—
215	C₂²	—	4	2	no	—
216	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
218	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
219	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
220	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
221	C₄	—	2	2	no	—
222	C₄	—	2	8	no	—
223	C₄	—	2	2	no	—
224	C₄	—	2	2	no	—
225	C₄	—	2	2	no	—
226	C₄	—	2	8	no	—
227	C₄	—	2	8	no	—
228	C₄	—	4	4	no	—
229	C₄	—	4	4	no	—
230	C₄	—	4	4	no	—
231	C₄	C₄×#41	1	4	yes	—
232	C₄	#519	1	4	yes	—
233	C₂	—	4	2	no	—
234	C₂	C₂×C₄×#41	1	1	yes	characteristic
235	C₂	C₂×#519	1	1	yes	characteristic
236	C₂	#3428	1	1	yes	characteristic
237	C₂	#3515	1	2	yes	—
238	C₂	#3518	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂⁴	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2369	C₂	semidirect
3. #2365	C₂	semidirect
5. #2356	C₂	semidirect
9. #2320	C₂	semidirect
10. C₄×#125	C₂	semidirect
12. #2276	C₂	semidirect
14. #533	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#533	2
#2369	2
#2365	2
#2362	2
#2356	2
#2347	2
#2346	2
#2332	2
#2320	2
C₄×#125	2
#2283	2
#2276	2
C₄×#117	2