Subgroups — #34238

Order 256.

1371 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 348 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#123	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2374	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#2359	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#2345	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2342	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2342	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	D₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal
8	#2335	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2313	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#2312	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×#123	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#2280	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#2274	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#2273	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#123	C₄	1	16	yes	complemented
19	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#390	C₂²	1	4	yes	—
35	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#386	C₂²	1	4	yes	—
47	#386	C₂²	1	4	yes	—
48	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#381	C₂²	1	2	yes	—
51	#381	C₂²	1	2	yes	complemented
52	#380	C₂²	1	2	yes	—
53	#380	C₂²	1	2	yes	—
54	#380	C₂²	1	2	yes	—
55	#380	C₂²	1	2	yes	complemented
56	#379	C₂²	1	2	yes	—
57	#379	C₂²	1	2	yes	—
58	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
59	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
60	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
61	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
62	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
63	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
64	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
65	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
66	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
67	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
68	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
69	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
70	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
71	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
72	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
73	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
74	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
75	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	complemented
76	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
79	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
80	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
83	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
84	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	#123	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
96	#123	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
97	#123	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
98	#123	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
99	C₄×D₄	—	4	8	no	—
100	#117	—	2	8	no	—
101	#117	—	4	4	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
134	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
135	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
142	#95	C₂³	1	2	yes	—
143	#95	C₂³	1	4	yes	—
144	#95	C₂³	1	2	yes	—
145	#95	C₂³	1	2	yes	—
146	#95	C₂³	1	4	yes	—
147	#95	C₂³	1	2	yes	—
148	#95	C₂³	1	4	yes	—
149	#95	C₂³	1	4	yes	—
150	#95	C₂³	1	4	yes	—
151	#95	C₂³	1	4	yes	—
152	#95	C₂³	1	4	yes	—
153	#95	C₂³	1	4	yes	—
154	C₂⁴	—	2	4	no	—
155	C₂⁴	—	2	4	no	—
156	C₂⁴	—	2	4	no	—
157	C₂⁴	—	4	2	no	—
158	C₂⁴	—	4	2	no	—
159	C₂⁴	—	4	2	no	—
160	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
161	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
162	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
163	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
164	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
165	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
166	C₂×D₄	—	2	8	no	—
167	C₂×D₄	—	4	4	no	—
168	C₂×D₄	—	4	16	no	—
169	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
170	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
171	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
187	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
207	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
208	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
209	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
210	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
211	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
212	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
213	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
214	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
215	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
219	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
220	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
221	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
224	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
225	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
226	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
227	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
228	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
229	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
230	C₂²⋊C₄	#41	1	8	yes	—
231	C₄²	—	2	8	no	—
232	C₄²	—	4	2	no	—
233	C₄²	—	4	4	no	—
234	C₄²	—	4	2	no	—
235	C₄²	—	4	4	no	—
236	C₄²	—	4	2	no	—
237	C₄²	—	4	2	no	—
238	C₄²	—	4	4	no	—
239	C₂³	—	2	2	no	—
240	C₂³	—	2	2	no	—
241	C₂³	—	2	2	no	—
242	C₂³	—	2	2	no	—
243	C₂³	—	2	8	no	—
244	C₂³	—	2	8	no	—
245	C₂³	—	2	2	no	—
246	C₂³	—	2	2	no	—
247	C₂³	—	2	2	no	—
248	C₂³	—	2	4	no	—
249	C₂³	—	2	2	no	—
250	C₂³	—	2	2	no	—
251	C₂³	—	2	4	no	—
252	C₂³	—	2	8	no	—
253	C₂³	—	4	4	no	—
254	C₂³	—	4	4	no	—
255	C₂³	—	4	4	no	—
256	C₂³	—	4	16	no	—
257	C₂³	—	8	8	no	—
258	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
259	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
260	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
261	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
262	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
263	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
264	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
265	D₄	—	2	16	no	—
266	D₄	—	4	8	no	—
267	C₂×C₄	—	2	8	no	—
268	C₂×C₄	—	2	8	no	—
269	C₂×C₄	—	2	8	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	4	no	—
293	C₂×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	16	no	—
296	C₂×C₄	—	8	8	no	—
297	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
298	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
299	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
305	C₂²	—	2	2	no	—
306	C₂²	—	2	2	no	—
307	C₂²	—	2	2	no	—
308	C₂²	—	2	2	no	—
309	C₂²	—	2	8	no	—
310	C₂²	—	2	8	no	—
311	C₂²	—	2	2	no	—
312	C₂²	—	2	4	no	—
313	C₂²	—	2	2	no	—
314	C₂²	—	2	4	no	—
315	C₂²	—	2	2	no	—
316	C₂²	—	2	4	no	—
317	C₂²	—	4	16	no	—
318	C₂²	—	4	4	no	—
319	C₂²	—	4	4	no	—
320	C₂²	—	4	4	no	—
321	C₂²	—	8	8	no	—
322	C₂²	C₄×#41	1	4	yes	—
323	C₂²	#518	1	4	yes	—
324	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
326	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
327	C₂²	#585	1	2	yes	—
328	C₄	—	2	4	no	—
329	C₄	—	2	2	no	—
330	C₄	—	2	2	no	—
331	C₄	—	2	2	no	—
332	C₄	—	2	2	no	—
333	C₄	—	2	4	no	—
334	C₄	—	2	4	no	—
335	C₄	—	2	8	no	—
336	C₄	—	4	4	no	—
337	C₄	—	4	4	no	—
338	C₄	—	4	4	no	—
339	C₂	—	2	4	no	—
340	C₂	—	2	4	no	—
341	C₂	—	4	2	no	—
342	C₂	—	4	4	no	—
343	C₂	C₂×C₄×#41	1	1	yes	characteristic
344	C₂	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
345	C₂	#3428	1	1	yes	characteristic
346	C₂	#3513	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂³×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2374	C₂	semidirect
3. #2359	C₂	semidirect
4. #2345	C₂	semidirect
5. #2342	C₂	semidirect
6. #2342	C₂	semidirect
8. #2335	C₂	semidirect
9. #2313	C₂	semidirect
10. #2312	C₂	semidirect
11. C₄×#123	C₂	semidirect
12. #2280	C₂	semidirect
13. #2274	C₂	semidirect
14. #2273	C₂	semidirect
15. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
18. C₂×#123	C₄	semidirect
25. C₂×#117	C₂²	semidirect
33. C₂²×C₄²	C₂²	semidirect
35. #389	C₂²	semidirect
36. #388	C₂²	semidirect
37. #388	C₂²	semidirect
38. #388	C₂²	semidirect
39. #388	C₂²	semidirect
40. #388	C₂²	semidirect
41. #388	C₂²	semidirect
42. #387	C₂²	semidirect
43. #387	C₂²	semidirect
44. #387	C₂²	semidirect
45. #387	C₂²	semidirect
48. #385	C₂²	semidirect
49. #385	C₂²	semidirect
51. #381	C₂²	semidirect
55. #380	C₂²	semidirect
58. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
59. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
60. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
68. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
69. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
70. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
71. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
72. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
73. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
74. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
75. C₂×#95	C₂²	semidirect
83. C₂³×C₄	C₂×C₄	semidirect
95. #123	C₂×C₄	semidirect
96. #123	C₂×C₄	semidirect
97. #123	C₂×C₄	semidirect
98. #123	C₂×C₄	semidirect
102. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
103. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
114. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
115. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
116. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#123	2
#2374	2
#2359	2
#2345	2
#2342	2
D₄×C₂²⋊C₄	2
#2335	2
#2313	2
#2312	2
C₄×#123	2
#2280	2
#2274	2
#2273	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₄	2