Subgroups — #34243

Order 256.

1215 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 375 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#529	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2370	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2367	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2359	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2355	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#2354	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#2352	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	Q₈×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	D₄×C₄⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	D₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#2334	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#2314	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	C₄×C₂²⋊Q₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	C₄×#121	C₂	1	2	yes	maximal
15	#2285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#2274	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
17	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	#529	C₄	1	16	yes	complemented
19	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#391	C₂²	1	2	yes	—
40	#390	C₂²	1	2	yes	—
41	#389	C₂²	1	4	yes	—
42	#389	C₂²	1	4	yes	—
43	#389	C₂²	1	2	yes	—
44	#389	C₂²	1	2	yes	—
45	#388	C₂²	1	4	yes	—
46	#388	C₂²	1	4	yes	—
47	#388	C₂²	1	4	yes	—
48	#388	C₂²	1	4	yes	—
49	#387	C₂²	1	4	yes	—
50	#387	C₂²	1	4	yes	—
51	#387	C₂²	1	4	yes	—
52	#387	C₂²	1	4	yes	—
53	#386	C₂²	1	4	yes	—
54	#385	C₂²	1	4	yes	—
55	#385	C₂²	1	4	yes	—
56	#385	C₂²	1	4	yes	—
57	#384	C₂²	1	2	yes	—
58	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
59	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
60	#382	C₂²	1	2	yes	—
61	#382	C₂²	1	2	yes	—
62	#380	C₂²	1	2	yes	—
63	#380	C₂²	1	2	yes	—
64	#380	C₂²	1	2	yes	—
65	#380	C₂²	1	2	yes	—
66	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
67	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
68	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
69	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
70	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
71	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
72	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
73	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
74	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
75	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
76	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
77	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
78	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
79	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
80	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
81	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
82	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
83	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
84	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
94	#126	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
95	#125	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
96	#124	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
97	#123	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
98	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
99	#121	C₂×C₄	1	8	yes	—
100	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
101	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
102	C₄×D₄	—	4	4	no	—
103	C₄×D₄	—	4	8	no	—
104	C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
105	C₄×D₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
106	#117	—	2	8	no	—
107	#117	—	4	4	no	—
108	#117	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
109	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
143	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
144	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
157	#95	C₂³	1	2	yes	—
158	#95	C₂³	1	2	yes	—
159	#95	C₂³	1	2	yes	—
160	#95	C₂³	1	2	yes	—
161	#95	C₂³	1	4	yes	—
162	#95	C₂³	1	4	yes	—
163	#95	C₂³	1	4	yes	—
164	#95	C₂³	1	4	yes	—
165	#95	C₂³	1	4	yes	—
166	#95	C₂³	1	4	yes	—
167	#95	C₂³	1	4	yes	—
168	#95	C₂³	1	4	yes	—
169	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
170	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
171	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
172	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
173	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
174	C₂×D₄	—	2	4	no	—
175	C₂×D₄	—	2	4	no	—
176	C₂×D₄	—	2	2	no	—
177	C₂×D₄	—	2	2	no	—
178	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
179	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
216	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
217	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
218	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
219	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
220	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
221	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
222	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
223	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
226	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
227	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
228	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
229	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
230	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
231	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
232	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
233	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
234	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
235	C₄⋊C₄	#41	1	4	yes	—
236	C₄⋊C₄	#41	1	4	yes	—
237	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
242	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
243	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
244	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
245	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
246	C₄²	—	2	8	no	—
247	C₄²	—	2	4	no	—
248	C₄²	—	2	4	no	—
249	C₄²	—	4	2	no	—
250	C₄²	—	4	2	no	—
251	C₄²	—	4	4	no	—
252	C₄²	—	4	4	no	—
253	C₄²	—	4	4	no	—
254	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
255	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
256	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
257	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
258	C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
259	C₂³	—	2	1	no	—
260	C₂³	—	2	1	no	—
261	C₂³	—	2	1	no	—
262	C₂³	—	2	1	no	—
263	C₂³	—	2	2	no	—
264	C₂³	—	2	2	no	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
270	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
271	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
272	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
273	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
274	Q₈	—	2	8	no	—
275	D₄	—	2	16	no	—
276	D₄	—	2	8	no	—
277	C₂×C₄	—	2	8	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	1	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	1	no	—
285	C₂×C₄	—	2	1	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	1	no	—
290	C₂×C₄	—	2	1	no	—
291	C₂×C₄	—	2	1	no	—
292	C₂×C₄	—	2	1	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	8	no	—
297	C₂×C₄	—	2	16	no	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	8	no	—
312	C₂×C₄	—	4	8	no	—
313	C₂×C₄	—	8	8	no	—
314	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
329	C₂²	—	2	2	no	—
330	C₂²	—	2	2	no	—
331	C₂²	—	2	2	no	—
332	C₂²	—	2	2	no	—
333	C₂²	—	2	2	no	—
334	C₂²	—	2	2	no	—
335	C₂²	—	2	4	no	—
336	C₂²	—	2	4	no	—
337	C₂²	—	2	4	no	—
338	C₂²	—	4	2	no	—
339	C₂²	—	4	2	no	—
340	C₂²	—	4	2	no	—
341	C₂²	—	4	2	no	—
342	C₂²	#520	1	4	yes	—
343	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
350	C₄	—	2	4	no	—
351	C₄	—	2	2	no	—
352	C₄	—	2	2	no	—
353	C₄	—	2	2	no	—
354	C₄	—	2	2	no	—
355	C₄	—	2	4	no	—
356	C₄	—	2	4	no	—
357	C₄	—	2	4	no	—
358	C₄	—	2	4	no	—
359	C₄	—	4	2	no	—
360	C₄	—	4	4	no	—
361	C₄	—	4	2	no	—
362	C₄	—	4	4	no	—
363	C₄	C₄×#41	1	4	yes	—
364	C₄	#520	1	4	yes	—
365	C₂	—	2	4	no	—
366	C₂	—	4	4	no	—
367	C₂	C₂×C₄×#41	1	1	yes	characteristic
368	C₂	C₂×#520	1	1	yes	characteristic
369	C₂	C₂×#520	1	1	yes	characteristic
370	C₂	#3519	1	1	yes	characteristic
371	C₂	#3520	1	1	yes	characteristic
372	C₂	#3522	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#3523	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂×#121	C₂²
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2370	C₂	semidirect
3. #2367	C₂	semidirect
4. #2359	C₂	semidirect
5. #2355	C₂	semidirect
6. #2354	C₂	semidirect
7. #2352	C₂	semidirect
8. Q₈×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
9. D₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
10. D₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
11. #2334	C₂	semidirect
12. #2314	C₂	semidirect
13. C₄×C₂²⋊Q₈	C₂	semidirect
15. #2285	C₂	semidirect
16. #2274	C₂	semidirect
17. C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
18. #529	C₄	semidirect
94. #126	C₂×C₄	semidirect
95. #125	C₂×C₄	semidirect
96. #124	C₂×C₄	semidirect
97. #123	C₂×C₄	semidirect
98. C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
101. C₄×Q₈	C₂×C₄	semidirect
104. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
105. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
108. #117	C₂×C₄	semidirect
143. C₂×C₄²	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#529	2
#2370	2
#2367	2
#2359	2
#2355	2
#2354	2
#2352	2
Q₈×C₄⋊C₄	2
D₄×C₄⋊C₄	2
#2334	2
#2314	2
C₄×C₂²⋊Q₈	2
C₄×#121	2
#2285	2
#2274	2
C₂×C₄×C₄⋊C₄	2