Subgroups — #34246

Order 256.

1597 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 285 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2364	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#2363	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#2345	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	D₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	D₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2333	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2312	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₄×#121	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2280	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#2273	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#121	C₄	1	16	yes	complemented
17	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
22	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	8	yes	complemented
23	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
24	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	complemented
29	#390	C₂²	1	8	yes	complemented
30	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
31	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
32	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
33	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
34	#387	C₂²	1	8	yes	complemented
35	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
36	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#381	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#380	C₂²	1	4	yes	—
40	#380	C₂²	1	2	yes	—
41	#380	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#379	C₂²	1	4	yes	—
43	#379	C₂²	1	2	yes	—
44	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
45	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
47	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
48	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
49	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
51	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
52	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
53	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
54	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
55	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	complemented
56	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
59	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
60	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
61	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
62	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
67	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
68	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂³×C₄	C₂³	1	8	yes	—
73	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#121	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
78	#121	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
79	#121	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
80	#121	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
81	C₄×D₄	—	4	8	no	—
82	C₄×D₄	—	4	16	no	—
83	#117	—	4	4	no	—
84	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
85	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
87	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
91	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
92	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
96	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
99	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
100	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
104	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
107	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
109	#95	C₂³	1	2	yes	—
110	#95	C₂³	1	4	yes	—
111	#95	C₂³	1	2	yes	—
112	#95	C₂³	1	4	yes	—
113	#95	C₂³	1	8	yes	—
114	#95	C₂³	1	4	yes	—
115	#95	C₂³	1	8	yes	—
116	C₂⁴	—	2	4	no	—
117	C₂⁴	—	2	4	no	—
118	C₂⁴	—	2	8	no	—
119	C₂⁴	—	4	2	no	—
120	C₂⁴	—	4	4	no	—
121	C₂⁴	—	4	4	no	—
122	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
123	C₂⁴	C₂²×C₄	1	8	yes	—
124	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
125	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
126	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
127	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
128	C₂×D₄	—	2	16	no	—
129	C₂×D₄	—	2	8	no	—
130	C₂×D₄	—	4	16	no	—
131	C₂×D₄	—	4	8	no	—
132	C₂×D₄	—	4	4	no	—
133	C₂×D₄	—	4	32	no	—
134	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
135	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
136	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
137	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
138	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
144	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
145	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
146	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
147	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
148	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
149	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
150	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
151	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
152	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
153	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
154	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
155	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
156	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
157	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
158	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
159	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
161	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
165	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
167	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
168	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
169	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
170	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
171	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
173	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
174	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
175	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
176	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
177	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
178	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
179	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
180	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
181	C₂²⋊C₄	#41	1	8	yes	—
182	C₄²	—	2	8	no	—
183	C₄²	—	4	2	no	—
184	C₄²	—	4	2	no	—
185	C₄²	—	4	4	no	—
186	C₄²	—	4	8	no	—
187	C₂³	—	2	2	no	—
188	C₂³	—	2	2	no	—
189	C₂³	—	2	2	no	—
190	C₂³	—	2	2	no	—
191	C₂³	—	2	8	no	—
192	C₂³	—	2	8	no	—
193	C₂³	—	2	2	no	—
194	C₂³	—	2	4	no	—
195	C₂³	—	2	4	no	—
196	C₂³	—	2	2	no	—
197	C₂³	—	2	8	no	—
198	C₂³	—	2	8	no	—
199	C₂³	—	2	2	no	—
200	C₂³	—	2	16	no	—
201	C₂³	—	4	4	no	—
202	C₂³	—	4	8	no	—
203	C₂³	—	4	8	no	—
204	C₂³	—	4	16	no	—
205	C₂³	—	8	16	no	—
206	C₂³	C₂³×C₄	1	8	yes	—
207	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
208	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
209	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
210	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
211	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
212	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
213	D₄	—	2	32	no	—
214	D₄	—	2	16	no	—
215	D₄	—	4	8	no	—
216	D₄	—	4	16	no	—
217	C₂×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂×C₄	—	2	8	no	—
222	C₂×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂×C₄	—	2	8	no	—
224	C₂×C₄	—	2	8	no	—
225	C₂×C₄	—	2	8	no	—
226	C₂×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂×C₄	—	2	8	no	—
228	C₂×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂×C₄	—	2	8	no	—
230	C₂×C₄	—	2	8	no	—
231	C₂×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂×C₄	—	4	4	no	—
233	C₂×C₄	—	4	4	no	—
234	C₂×C₄	—	4	4	no	—
235	C₂×C₄	—	4	8	no	—
236	C₂×C₄	—	4	16	no	—
237	C₂×C₄	—	8	16	no	—
238	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
239	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
240	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
241	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
242	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
243	C₂×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
244	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
245	C₂²	—	2	2	no	—
246	C₂²	—	2	2	no	—
247	C₂²	—	2	2	no	—
248	C₂²	—	2	2	no	—
249	C₂²	—	2	8	no	—
250	C₂²	—	2	8	no	—
251	C₂²	—	2	2	no	—
252	C₂²	—	2	8	no	—
253	C₂²	—	2	2	no	—
254	C₂²	—	2	8	no	—
255	C₂²	—	2	8	no	—
256	C₂²	—	2	2	no	—
257	C₂²	—	4	16	no	—
258	C₂²	—	4	8	no	—
259	C₂²	—	4	4	no	—
260	C₂²	—	4	8	no	—
261	C₂²	—	8	16	no	—
262	C₂²	C₄×#41	1	4	yes	—
263	C₂²	#518	1	4	yes	—
264	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
266	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
267	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
268	C₄	—	2	2	no	—
269	C₄	—	2	2	no	—
270	C₄	—	2	2	no	—
271	C₄	—	2	8	no	—
272	C₄	—	2	8	no	—
273	C₄	—	4	4	no	—
274	C₄	—	4	8	no	—
275	C₄	#518	1	4	yes	—
276	C₂	—	2	4	no	—
277	C₂	—	2	4	no	—
278	C₂	—	4	2	no	—
279	C₂	—	4	8	no	—
280	C₂	C₂×C₄×#41	1	1	yes	characteristic
281	C₂	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
282	C₂	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
283	C₂	#3519	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂²×#121	C₂
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2364	C₂	semidirect
3. #2363	C₂	semidirect
4. #2345	C₂	semidirect
5. D₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
6. D₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
7. #2333	C₂	semidirect
8. #2312	C₂	semidirect
9. C₄×#121	C₂	semidirect
10. #2280	C₂	semidirect
11. #2273	C₂	semidirect
12. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
16. C₂×#121	C₄	semidirect
21. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
22. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
23. C₂×#117	C₂²	semidirect
28. C₂²×C₄²	C₂²	semidirect
29. #390	C₂²	semidirect
30. #390	C₂²	semidirect
31. #389	C₂²	semidirect
32. #388	C₂²	semidirect
33. #388	C₂²	semidirect
34. #387	C₂²	semidirect
35. #386	C₂²	semidirect
36. #386	C₂²	semidirect
37. #386	C₂²	semidirect
38. #381	C₂²	semidirect
41. #380	C₂²	semidirect
44. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
50. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
51. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
52. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
53. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
54. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
55. C₂×#95	C₂²	semidirect
60. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
61. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
67. C₂³×C₄	C₂×C₄	semidirect
77. #121	C₂×C₄	semidirect
78. #121	C₂×C₄	semidirect
79. #121	C₂×C₄	semidirect
80. #121	C₂×C₄	semidirect
84. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
91. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#121	2
#2364	2
#2363	2
#2345	2
D₄×C₂²⋊C₄	2
#2333	2
#2312	2
C₄×#121	2
#2280	2
#2273	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₄	2