Subgroups — #34255

Order 256.

1341 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 259 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#518	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2357	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#2354	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#2342	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#2319	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2317	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#2309	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#2296	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#2293	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₂×#390	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	#2274	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#518	C₄	1	16	yes	complemented
15	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#117	C₂²	1	8	yes	complemented
22	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#390	C₂²	1	4	yes	—
27	#390	C₂²	1	2	yes	—
28	#390	C₂²	1	2	yes	—
29	#390	C₂²	1	2	yes	—
30	#390	C₂²	1	4	yes	—
31	#390	C₂²	1	2	yes	—
32	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
33	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
36	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#385	C₂²	1	4	yes	—
40	#385	C₂²	1	4	yes	—
41	#384	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#381	C₂²	1	8	yes	complemented
44	#380	C₂²	1	8	yes	complemented
45	#379	C₂²	1	4	yes	—
46	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
47	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
48	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
49	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
50	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
51	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
52	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
53	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
54	#376	C₂²	1	2	yes	complemented
55	C₄³	C₂²	1	2	yes	complemented
56	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
58	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
59	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
60	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂³×C₄	C₂³	1	8	yes	—
65	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₄×D₄	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
67	C₄×D₄	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
68	#117	—	2	4	no	—
69	#117	—	2	4	no	—
70	#117	—	4	16	no	—
71	#117	C₂×C₄	1	8	yes	—
72	#117	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
74	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	32	yes	—
86	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
91	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
95	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
96	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
103	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
106	#95	C₂³	1	4	yes	—
107	#95	C₂³	1	4	yes	—
108	#95	C₂³	1	8	yes	—
109	#95	C₂³	1	4	yes	—
110	#95	C₂³	1	8	yes	—
111	#95	C₂³	1	4	yes	—
112	C₂⁴	—	2	4	no	—
113	C₂⁴	—	2	4	no	—
114	C₂⁴	—	4	4	no	—
115	C₂⁴	—	4	4	no	—
116	C₂⁴	C₂²×C₄	1	8	yes	—
117	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
118	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
119	C₂×D₄	—	2	32	no	—
120	C₂×D₄	—	2	4	no	—
121	C₂×D₄	—	2	4	no	—
122	C₂×D₄	—	2	4	no	—
123	C₂×D₄	—	2	4	no	—
124	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
125	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
126	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
129	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
130	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
131	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
132	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
133	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
134	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
135	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
136	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
137	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
138	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
139	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
140	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
141	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
142	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
143	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
144	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
145	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
147	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
148	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
153	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
154	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
155	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
156	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
157	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
160	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
161	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
162	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
163	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
164	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
165	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
166	C₄²	—	2	2	no	—
167	C₄²	—	2	4	no	—
168	C₄²	—	2	2	no	—
169	C₄²	—	2	4	no	—
170	C₄²	—	2	4	no	—
171	C₄²	—	2	8	no	—
172	C₄²	—	4	4	no	—
173	C₄²	—	4	8	no	—
174	C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
175	C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
176	C₂³	—	2	2	no	—
177	C₂³	—	2	2	no	—
178	C₂³	—	2	4	no	—
179	C₂³	—	2	4	no	—
180	C₂³	—	2	8	no	—
181	C₂³	—	2	8	no	—
182	C₂³	—	2	16	no	—
183	C₂³	—	4	16	no	—
184	C₂³	—	8	8	no	—
185	C₂³	—	8	4	no	—
186	C₂³	—	8	4	no	—
187	C₂³	C₂³×C₄	1	8	yes	—
188	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
189	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
190	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
191	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
192	D₄	—	2	16	no	—
193	D₄	—	2	16	no	—
194	C₂×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂×C₄	—	2	8	no	—
208	C₂×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂×C₄	—	4	32	no	—
213	C₂×C₄	—	4	8	no	—
214	C₂×C₄	—	8	4	no	—
215	C₂×C₄	#117	1	16	yes	complemented
216	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
217	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
218	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
219	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
220	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
221	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
222	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
223	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
224	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
225	C₂²	—	2	4	no	—
226	C₂²	—	2	4	no	—
227	C₂²	—	2	2	no	—
228	C₂²	—	2	2	no	—
229	C₂²	—	2	8	no	—
230	C₂²	—	2	16	no	—
231	C₂²	—	4	8	no	—
232	C₂²	—	4	4	no	—
233	C₂²	—	4	4	no	—
234	C₂²	—	8	16	no	—
235	C₂²	C₂×#117	1	4	yes	—
236	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
238	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
239	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
240	C₂²	#585	1	2	yes	—
241	C₄	—	2	8	no	—
242	C₄	—	2	8	no	—
243	C₄	—	2	4	no	—
244	C₄	—	4	4	no	—
245	C₄	—	4	2	no	—
246	C₄	—	4	2	no	—
247	C₄	—	4	4	no	—
248	C₄	—	4	2	no	—
249	C₄	C₂×#117	1	4	yes	—
250	C₄	C₂×#117	1	4	yes	—
251	C₂	—	2	4	no	—
252	C₂	—	4	8	no	—
253	C₂	C₂²×#117	1	1	yes	characteristic
254	C₂	C₄×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
255	C₂	#3494	1	2	yes	—
256	C₂	#3508	1	1	yes	characteristic
257	C₂	#3510	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂³×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2357	C₂	semidirect
3. #2354	C₂	semidirect
4. #2342	C₂	semidirect
5. #2319	C₂	semidirect
6. #2317	C₂	semidirect
8. #2296	C₂	semidirect
9. #2293	C₂	semidirect
11. #2274	C₂	semidirect
12. C₄×#117	C₂	semidirect
14. #518	C₄	semidirect
21. C₂×#117	C₂²	semidirect
32. #389	C₂²	semidirect
33. #389	C₂²	semidirect
34. #389	C₂²	semidirect
35. #388	C₂²	semidirect
36. #388	C₂²	semidirect
37. #388	C₂²	semidirect
38. #388	C₂²	semidirect
41. #384	C₂²	semidirect
42. #382	C₂²	semidirect
43. #381	C₂²	semidirect
44. #380	C₂²	semidirect
46. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
47. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
48. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
49. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
50. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
53. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
54. #376	C₂²	semidirect
55. C₄³	C₂²	semidirect
66. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
67. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
215. C₂×C₄	#117	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#518	2
#2357	2
#2354	2
#2342	2
#2319	2
#2317	2
#2309	2
#2296	2
#2293	2
C₂×#390	2
#2274	2
C₄×#117	2