Subgroups — #34256

Order 256.

2949 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 260 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#518	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×C₄×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2339	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	D₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#2311	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2308	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2297	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×#386	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
11	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
12	C₂×H(5,𝔽₂)	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#41	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂³×D₄	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂³×D₄	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂⁴×C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
19	#518	—	2	8	no	—
20	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
21	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	8	yes	complemented
22	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	8	yes	complemented
23	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
24	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
25	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
27	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
28	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
29	#391	C₂²	1	4	yes	complemented
30	#391	C₂²	1	4	yes	complemented
31	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
32	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
33	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
34	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
35	#386	C₂²	1	16	yes	complemented
36	#386	C₂²	1	16	yes	complemented
37	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#381	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#380	C₂²	1	8	yes	complemented
40	#379	C₂²	1	8	yes	complemented
41	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
42	C₂×#95	C₂²	1	8	yes	complemented
43	C₂⁵	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
45	H(5,𝔽₂)	—	2	128	no	—
46	C₂×#41	—	2	16	no	—
47	C₂×#41	—	2	16	no	—
48	C₂×#41	—	2	8	no	—
49	C₂×#41	—	2	8	no	—
50	C₂×#41	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
51	C₂×#41	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
52	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
54	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
55	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
56	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
57	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
58	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
59	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
60	C₂²×D₄	D₄	1	8	yes	—
61	C₂²×D₄	D₄	1	8	yes	—
62	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
64	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
67	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
68	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂³×C₄	C₂³	1	8	yes	—
70	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂³×C₄	C₂³	1	8	yes	—
73	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₄×D₄	—	2	32	no	—
77	C₄×D₄	—	2	32	no	—
78	#117	—	2	8	no	—
79	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
80	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
91	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
92	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
94	#95	C₂³	1	8	yes	—
95	#95	C₂³	1	16	yes	—
96	#95	C₂³	1	8	yes	—
97	C₂⁴	—	2	8	no	—
98	C₂⁴	—	2	8	no	—
99	C₂⁴	—	4	4	no	—
100	C₂⁴	—	4	4	no	—
101	C₂⁴	—	4	8	no	—
102	C₂⁴	—	4	8	no	—
103	C₂⁴	C₂²×C₄	1	8	yes	—
104	C₂⁴	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
105	C₂⁴	C₂×D₄	1	8	yes	—
106	C₂⁴	C₂×D₄	1	8	yes	—
107	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
108	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
109	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
110	#41	—	2	128	no	—
111	#41	—	2	64	no	—
112	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
113	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
114	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	complemented
115	C₂×D₄	—	2	128	no	—
116	C₂×D₄	—	2	8	no	—
117	C₂×D₄	—	2	8	no	—
118	C₂×D₄	—	2	16	no	—
119	C₂×D₄	—	2	16	no	—
120	C₂×D₄	—	2	128	no	—
121	C₂×D₄	—	2	4	no	—
122	C₂×D₄	—	2	4	no	—
123	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	64	yes	complemented
124	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
125	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
126	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	32	yes	complemented
127	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	complemented
128	C₂×D₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
129	C₂×D₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
130	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
141	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
142	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
143	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
144	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
145	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
146	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
147	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
148	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
149	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
150	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
153	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
154	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
155	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
156	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
157	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
158	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
159	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
160	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
161	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
162	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
163	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
164	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
165	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
166	C₄²	—	2	8	no	—
167	C₄²	—	2	8	no	—
168	C₂³	—	2	2	no	—
169	C₂³	—	2	8	no	—
170	C₂³	—	2	2	no	—
171	C₂³	—	2	8	no	—
172	C₂³	—	2	4	no	—
173	C₂³	—	2	4	no	—
174	C₂³	—	2	8	no	—
175	C₂³	—	2	8	no	—
176	C₂³	—	2	32	no	—
177	C₂³	—	4	8	no	—
178	C₂³	—	4	16	no	—
179	C₂³	—	4	8	no	—
180	C₂³	—	4	16	no	—
181	C₂³	—	4	32	no	—
182	C₂³	—	8	8	no	—
183	C₂³	—	8	8	no	—
184	C₂³	—	8	16	no	—
185	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	complemented
186	C₂³	C₂³×C₄	1	8	yes	—
187	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
188	C₂³	C₂³×C₄	1	8	yes	—
189	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
190	C₂³	C₂²×D₄	1	8	yes	—
191	C₂³	C₂²×D₄	1	8	yes	—
192	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
193	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
194	Q₈	—	2	16	no	—
195	D₄	—	2	32	no	—
196	D₄	—	2	64	no	—
197	D₄	—	2	16	no	—
198	D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	64	yes	complemented
199	C₂×C₄	—	2	8	no	—
200	C₂×C₄	—	2	32	no	—
201	C₂×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂×C₄	—	2	32	no	—
206	C₂×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂×C₄	—	2	8	no	—
208	C₂×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂×C₄	—	2	8	no	—
210	C₂×C₄	—	2	8	no	—
211	C₂×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₄	—	2	8	no	—
213	C₂×C₄	—	4	32	no	—
214	C₂×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂×C₄	—	4	8	no	—
216	C₂×C₄	—	8	16	no	—
217	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
218	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
219	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
220	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
221	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
222	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	complemented
223	C₂²	—	2	4	no	—
224	C₂²	—	2	16	no	—
225	C₂²	—	2	2	no	—
226	C₂²	—	2	8	no	—
227	C₂²	—	2	2	no	—
228	C₂²	—	2	8	no	—
229	C₂²	—	2	16	no	—
230	C₂²	—	2	4	no	—
231	C₂²	—	2	8	no	—
232	C₂²	—	2	16	no	—
233	C₂²	—	4	32	no	—
234	C₂²	—	4	4	no	—
235	C₂²	—	4	4	no	—
236	C₂²	—	4	8	no	—
237	C₂²	—	8	32	no	—
238	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
239	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
240	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
244	C₂²	#585	1	2	yes	—
245	C₄	—	2	8	no	—
246	C₄	—	2	4	no	—
247	C₄	—	4	4	no	—
248	C₄	—	4	2	no	—
249	C₄	—	4	8	no	—
250	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
251	C₂	—	2	4	no	—
252	C₂	—	2	16	no	—
253	C₂	—	4	8	no	—
254	C₂	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂	C₄×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
256	C₂	#3484	1	1	yes	characteristic
257	C₂	#3485	1	1	yes	characteristic
258	C₂	#3496	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#518	C₂	semidirect
3. C₂²×C₄×D₄	C₂	semidirect
4. #2339	C₂	semidirect
5. D₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
6. #2311	C₂	semidirect
7. #2308	C₂	semidirect
8. #2297	C₂	semidirect
9. C₂×#386	C₂	semidirect
12. C₂×H(5,𝔽₂)	C₄	semidirect
18. C₂⁴×C₄	C₂²	semidirect
21. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
22. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
23. C₂×#117	C₂²	semidirect
24. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
25. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
26. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
27. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
28. C₂²×C₄²	C₂²	semidirect
29. #391	C₂²	semidirect
30. #391	C₂²	semidirect
31. #390	C₂²	semidirect
32. #390	C₂²	semidirect
33. #386	C₂²	semidirect
34. #386	C₂²	semidirect
35. #386	C₂²	semidirect
36. #386	C₂²	semidirect
37. #386	C₂²	semidirect
38. #381	C₂²	semidirect
39. #380	C₂²	semidirect
40. #379	C₂²	semidirect
41. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
42. C₂×#95	C₂²	semidirect
50. C₂×#41	C₂×C₄	semidirect
51. C₂×#41	C₂×C₄	semidirect
58. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
59. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
104. C₂⁴	C₂²×C₄	semidirect
114. C₂×Q₈	C₂²×C₄	semidirect
123. C₂×D₄	C₂²⋊C₄	semidirect
126. C₂×D₄	C₂²×C₄	semidirect
127. C₂×D₄	C₂²×C₄	semidirect
148. C₂²×C₄	C₂²×C₄	semidirect
149. C₂²×C₄	C₂²×C₄	semidirect
185. C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	semidirect
198. D₄	C₂×C₂²⋊C₄	semidirect
217. C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	semidirect
222. C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×H(5,𝔽₂)	2
C₂×#518	2
C₂²×C₄×D₄	2
#2339	2
D₄×C₂²⋊C₄	2
#2311	2
#2308	2
#2297	2
C₂×#386	2