Subgroups — #34258

Order 256.

2841 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 229 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#520	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×C₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2341	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	D₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
6	#2311	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	#2309	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	#2297	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	C₂×#390	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
10	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
11	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
12	C₂×H(5,𝔽₂)	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂²×#41	C₂²	1	3	yes	—
14	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂³×D₄	C₂²	1	3	yes	—
17	C₂³×D₄	C₂²	1	6	yes	—
18	#520	—	2	8	no	—
19	C₄×#41	—	2	8	no	—
20	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
21	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
22	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	6	yes	complemented
23	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	6	yes	complemented
24	C₂×#117	C₂²	1	3	yes	complemented
25	C₂×#117	C₂²	1	3	yes	complemented
26	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	complemented
27	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	12	yes	complemented
28	C₂²×C₄²	C₂²	1	3	yes	complemented
29	#391	C₂²	1	3	yes	complemented
30	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
31	#390	C₂²	1	3	yes	complemented
32	#390	C₂²	1	6	yes	complemented
33	#390	C₂²	1	12	yes	complemented
34	#390	C₂²	1	12	yes	complemented
35	#390	C₂²	1	3	yes	complemented
36	#386	C₂²	1	12	yes	complemented
37	#386	C₂²	1	12	yes	complemented
38	#380	C₂²	1	12	yes	complemented
39	#379	C₂²	1	12	yes	complemented
40	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	12	yes	complemented
41	C₂⁵	C₂³	1	6	yes	—
42	H(5,𝔽₂)	—	2	128	no	—
43	C₂×#41	—	2	8	no	—
44	C₂×#41	—	2	8	no	—
45	C₂×#41	—	2	12	no	—
46	C₂×#41	—	2	12	no	—
47	C₂×#41	C₂×C₄	1	8	yes	—
48	C₂×#41	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
49	C₂×#41	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
50	C₂×#41	D₄	1	8	yes	—
51	C₂×#41	D₄	1	8	yes	—
52	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
55	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
56	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
57	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
58	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	48	yes	complemented
59	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
60	C₂²×D₄	C₂³	1	6	yes	—
61	C₂²×D₄	C₂³	1	3	yes	—
62	C₂²×D₄	C₂³	1	6	yes	—
63	C₂²×D₄	C₂³	1	3	yes	—
64	C₂³×C₄	C₂³	1	6	yes	—
65	C₂³×C₄	C₂³	1	6	yes	—
66	C₂³×C₄	C₂³	1	6	yes	—
67	C₂³×C₄	C₂³	1	3	yes	—
68	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
69	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
70	C₄×D₄	—	2	24	no	—
71	C₄×D₄	—	2	24	no	—
72	#117	—	2	12	no	—
73	#117	—	2	12	no	—
74	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
75	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
77	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
79	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
80	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
81	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
82	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
85	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
86	C₂×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
87	C₂×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
88	C₂×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
89	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	#95	C₂³	1	4	yes	—
91	#95	C₂³	1	12	yes	—
92	C₂⁴	—	2	12	no	—
93	C₂⁴	—	2	12	no	—
94	C₂⁴	—	4	12	no	—
95	C₂⁴	—	4	12	no	—
96	C₂⁴	C₂²×C₄	1	24	yes	—
97	C₂⁴	C₂⁴	1	6	yes	—
98	C₂⁴	C₂⁴	1	3	yes	—
99	#41	—	2	64	no	—
100	#41	—	2	96	no	—
101	#41	C₂²⋊C₄	1	64	yes	complemented
102	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
103	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
104	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
105	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
106	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
107	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
108	C₂×D₄	—	2	12	no	—
109	C₂×D₄	—	2	12	no	—
110	C₂×D₄	—	2	192	no	—
111	C₂×D₄	—	2	96	no	—
112	C₂×D₄	—	2	6	no	—
113	C₂×D₄	—	2	12	no	—
114	C₂×D₄	—	2	12	no	—
115	C₂×D₄	—	2	6	no	—
116	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
117	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
118	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
119	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
120	C₂×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
121	C₂×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
122	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
127	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
128	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
129	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
130	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
131	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
132	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
133	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
134	C₂²×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
135	C₂²×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
136	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
137	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
138	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
140	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
141	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
142	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
144	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
145	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
146	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
147	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
148	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
149	C₄²	—	2	2	no	—
150	C₄²	—	2	6	no	—
151	C₄²	—	2	12	no	—
152	C₄²	—	2	12	no	—
153	C₂³	—	2	6	no	—
154	C₂³	—	2	6	no	—
155	C₂³	—	2	6	no	—
156	C₂³	—	2	6	no	—
157	C₂³	—	2	12	no	—
158	C₂³	—	2	12	no	—
159	C₂³	—	2	48	no	—
160	C₂³	—	4	48	no	—
161	C₂³	—	8	24	no	—
162	C₂³	—	8	12	no	—
163	C₂³	—	8	12	no	—
164	C₂³	C₂³×C₄	1	12	yes	—
165	C₂³	C₂³×C₄	1	6	yes	—
166	C₂³	C₂²×D₄	1	6	yes	—
167	C₂³	C₂²×D₄	1	6	yes	—
168	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
169	Q₈	—	2	8	no	—
170	Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
171	D₄	—	2	48	no	—
172	D₄	—	2	48	no	—
173	D₄	—	2	24	no	—
174	D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	48	yes	complemented
175	C₂×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄	—	2	48	no	—
180	C₂×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄	—	2	6	no	—
182	C₂×C₄	—	2	6	no	—
183	C₂×C₄	—	2	12	no	—
184	C₂×C₄	—	2	6	no	—
185	C₂×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄	—	2	6	no	—
187	C₂×C₄	—	4	24	no	—
188	C₂×C₄	—	8	12	no	—
189	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	48	yes	complemented
190	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
191	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
192	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
195	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
196	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
197	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	complemented
198	C₂²	—	2	12	no	—
199	C₂²	—	2	12	no	—
200	C₂²	—	2	6	no	—
201	C₂²	—	2	6	no	—
202	C₂²	—	2	12	no	—
203	C₂²	—	2	24	no	—
204	C₂²	—	4	12	no	—
205	C₂²	—	4	6	no	—
206	C₂²	—	4	6	no	—
207	C₂²	—	8	48	no	—
208	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
209	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
213	C₂²	#585	1	2	yes	—
214	C₄	—	2	4	no	—
215	C₄	—	2	4	no	—
216	C₄	—	4	6	no	—
217	C₄	—	4	6	no	—
218	C₄	—	4	2	no	—
219	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
220	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
221	C₂	—	2	12	no	—
222	C₂	—	4	12	no	—
223	C₂	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂	C₄×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
225	C₂	#3488	1	2	yes	—
226	C₂	#3498	1	1	yes	characteristic
227	C₂	#3500	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#520	C₂	semidirect
3. C₂×C₄×#41	C₂	semidirect
4. #2341	C₂	semidirect
5. D₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
6. #2311	C₂	semidirect
7. #2309	C₂	semidirect
8. #2297	C₂	semidirect
9. C₂×#390	C₂	semidirect
12. C₂×H(5,𝔽₂)	C₄	semidirect
20. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
21. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
22. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
23. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
24. C₂×#117	C₂²	semidirect
25. C₂×#117	C₂²	semidirect
26. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
27. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
28. C₂²×C₄²	C₂²	semidirect
29. #391	C₂²	semidirect
30. #391	C₂²	semidirect
31. #390	C₂²	semidirect
32. #390	C₂²	semidirect
33. #390	C₂²	semidirect
34. #390	C₂²	semidirect
35. #390	C₂²	semidirect
36. #386	C₂²	semidirect
37. #386	C₂²	semidirect
38. #380	C₂²	semidirect
39. #379	C₂²	semidirect
40. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
48. C₂×#41	C₂×C₄	semidirect
49. C₂×#41	C₂×C₄	semidirect
58. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
59. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
101. #41	C₂²⋊C₄	semidirect
170. Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	semidirect
174. D₄	C₂×C₂²⋊C₄	semidirect
189. C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	semidirect
197. C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×H(5,𝔽₂)	2
C₂×#520	2
C₂×C₄×#41	2
#2341	2
D₄×C₂²⋊C₄	2
#2311	2
#2309	2
#2297	2
C₂×#390	2