Subgroups — #34265

Order 256.

1793 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 316 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#535	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#520	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×C₄×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2367	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2366	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2363	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2361	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2321	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2309	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₄×#120	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2297	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#2296	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#2274	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂⁴×C₄	C₂²	1	2	yes	—
17	#535	C₄	1	16	yes	complemented
18	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
22	#520	—	2	8	no	—
23	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
24	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
25	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	8	yes	complemented
30	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
34	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
36	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#390	C₂²	1	2	yes	—
40	#390	C₂²	1	2	yes	—
41	#390	C₂²	1	4	yes	—
42	#390	C₂²	1	8	yes	complemented
43	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
44	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
46	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
47	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
48	#386	C₂²	1	2	yes	—
49	#386	C₂²	1	2	yes	—
50	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
51	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
52	#385	C₂²	1	2	yes	—
53	#385	C₂²	1	2	yes	—
54	#385	C₂²	1	8	yes	complemented
55	#379	C₂²	1	4	yes	—
56	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
57	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
58	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
59	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
60	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
61	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
62	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#41	—	2	4	no	—
64	C₂×#41	—	2	4	no	—
65	C₂×#41	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
66	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
68	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
69	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
70	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
75	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
76	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
77	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂³×C₄	C₂³	1	8	yes	—
79	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	#127	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
85	#124	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
86	#121	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
87	#120	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
88	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
89	C₄×D₄	—	2	16	no	—
90	C₄×D₄	—	2	16	no	—
91	C₄×D₄	—	2	16	no	—
92	C₄×D₄	—	2	8	no	—
93	C₄×D₄	—	4	16	no	—
94	#117	—	2	4	no	—
95	#117	—	2	4	no	—
96	#117	—	2	8	no	—
97	#117	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
98	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
99	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	complemented
100	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
120	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
127	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
128	#95	C₂³	1	8	yes	—
129	#95	C₂³	1	4	yes	—
130	#95	C₂³	1	4	yes	—
131	#95	C₂³	1	4	yes	—
132	#95	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂⁴	—	2	4	no	—
134	C₂⁴	—	2	4	no	—
135	C₂⁴	—	4	4	no	—
136	C₂⁴	—	4	4	no	—
137	C₂⁴	C₂²×C₄	1	8	yes	—
138	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
139	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
140	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
141	#41	—	2	32	no	—
142	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
143	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
144	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	complemented
145	C₂×D₄	—	2	4	no	—
146	C₂×D₄	—	2	4	no	—
147	C₂×D₄	—	2	32	no	—
148	C₂×D₄	—	2	4	no	—
149	C₂×D₄	—	2	4	no	—
150	C₂×D₄	—	2	2	no	—
151	C₂×D₄	—	2	4	no	—
152	C₂×D₄	—	2	4	no	—
153	C₂×D₄	—	2	2	no	—
154	C₂×D₄	—	4	8	no	—
155	C₂×D₄	—	4	8	no	—
156	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
157	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
158	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
159	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	complemented
160	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	32	yes	complemented
161	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
169	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
174	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	complemented
176	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
178	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
189	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
191	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
194	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
195	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	complemented
196	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
197	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
198	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
202	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
203	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
204	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
206	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
207	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	complemented
208	C₄²	—	2	4	no	—
209	C₄²	—	2	4	no	—
210	C₄²	—	2	8	no	—
211	C₄²	—	2	4	no	—
212	C₄²	—	2	4	no	—
213	C₄²	—	4	8	no	—
214	C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	complemented
215	C₂³	—	2	2	no	—
216	C₂³	—	2	2	no	—
217	C₂³	—	2	16	no	—
218	C₂³	—	2	2	no	—
219	C₂³	—	2	4	no	—
220	C₂³	—	2	2	no	—
221	C₂³	—	2	4	no	—
222	C₂³	—	2	4	no	—
223	C₂³	—	2	8	no	—
224	C₂³	—	2	4	no	—
225	C₂³	—	2	8	no	—
226	C₂³	—	4	16	no	—
227	C₂³	—	4	8	no	—
228	C₂³	—	4	8	no	—
229	C₂³	—	4	16	no	—
230	C₂³	C₂³×C₄	1	8	yes	—
231	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
232	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
233	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
234	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
235	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
236	Q₈	—	2	8	no	—
237	D₄	—	2	16	no	—
238	D₄	—	2	16	no	—
239	D₄	—	2	16	no	—
240	D₄	—	2	8	no	—
241	D₄	—	4	32	no	—
242	C₂×C₄	—	2	8	no	—
243	C₂×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂×C₄	—	2	8	no	—
248	C₂×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	2	16	no	—
251	C₂×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	4	8	no	—
262	C₂×C₄	—	4	32	no	—
263	C₂×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂×C₄	—	8	8	no	—
265	C₂×C₄	C₄×D₄	1	16	yes	complemented
266	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
267	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
268	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
269	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
270	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
271	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
272	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
273	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
275	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
276	C₂²	—	2	4	no	—
277	C₂²	—	2	2	no	—
278	C₂²	—	2	2	no	—
279	C₂²	—	2	4	no	—
280	C₂²	—	2	4	no	—
281	C₂²	—	2	8	no	—
282	C₂²	—	2	8	no	—
283	C₂²	—	2	16	no	—
284	C₂²	—	4	32	no	—
285	C₂²	—	4	4	no	—
286	C₂²	—	4	2	no	—
287	C₂²	—	4	2	no	—
288	C₂²	—	4	4	no	—
289	C₂²	—	4	4	no	—
290	C₂²	—	4	8	no	—
291	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
292	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
294	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
295	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
296	C₂²	#585	1	2	yes	—
297	C₄	—	2	4	no	—
298	C₄	—	2	8	no	—
299	C₄	—	2	4	no	—
300	C₄	—	2	8	no	—
301	C₄	—	4	2	no	—
302	C₄	—	4	2	no	—
303	C₄	—	4	2	no	—
304	C₄	—	4	4	no	—
305	C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
306	C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
307	C₂	—	2	4	no	—
308	C₂	—	4	4	no	—
309	C₂	—	4	8	no	—
310	C₂	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
311	C₂	C₄×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
312	C₂	#3484	1	1	yes	characteristic
313	C₂	#3487	1	1	yes	characteristic
314	C₂	#3506	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂×#535	C₂
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#520	C₂	semidirect
3. C₂²×C₄×D₄	C₂	semidirect
4. #2367	C₂	semidirect
5. #2366	C₂	semidirect
6. #2363	C₂	semidirect
7. #2361	C₂	semidirect
8. #2321	C₂	semidirect
9. #2309	C₂	semidirect
10. C₄×#120	C₂	semidirect
11. #2297	C₂	semidirect
12. #2296	C₂	semidirect
13. #2274	C₂	semidirect
17. #535	C₄	semidirect
23. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
28. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
29. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
33. C₂×#117	C₂²	semidirect
35. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
38. #391	C₂²	semidirect
42. #390	C₂²	semidirect
43. #390	C₂²	semidirect
44. #389	C₂²	semidirect
45. #389	C₂²	semidirect
46. #388	C₂²	semidirect
47. #388	C₂²	semidirect
50. #386	C₂²	semidirect
51. #386	C₂²	semidirect
54. #385	C₂²	semidirect
56. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
57. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
58. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
60. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
61. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
65. C₂×#41	C₂×C₄	semidirect
69. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
84. #127	C₂×C₄	semidirect
85. #124	C₂×C₄	semidirect
86. #121	C₂×C₄	semidirect
87. #120	C₂×C₄	semidirect
97. #117	C₂×C₄	semidirect
99. C₂×C₄⋊C₄	D₄	semidirect
144. C₂×Q₈	C₂²×C₄	semidirect
159. C₂×D₄	C₂²×C₄	semidirect
160. C₂×D₄	C₂²×C₄	semidirect
175. C₂²×C₄	C₂²×C₄	semidirect
195. C₄⋊C₄	C₂²×C₄	semidirect
207. C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	semidirect
214. C₄²	C₂²×C₄	semidirect
265. C₂×C₄	C₄×D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#535	2
C₂×#520	2
C₂²×C₄×D₄	2
#2367	2
#2366	2
#2363	2
#2361	2
#2321	2
#2309	2
C₄×#120	2
#2297	2
#2296	2
#2274	2