Subgroups — #34269

Order 256.

1713 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 302 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#535	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#518	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×C₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2367	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2366	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2358	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#2324	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2311	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₄×#121	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2296	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#390	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#2274	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#535	C₄	1	16	yes	complemented
16	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
20	#518	—	2	8	no	—
21	C₄×#41	—	2	8	no	—
22	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
23	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
27	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	8	yes	complemented
28	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
32	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	complemented
37	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#390	C₂²	1	2	yes	—
39	#390	C₂²	1	4	yes	—
40	#390	C₂²	1	2	yes	—
41	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#390	C₂²	1	8	yes	complemented
43	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
44	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
46	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
47	#386	C₂²	1	4	yes	—
48	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
49	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
50	#385	C₂²	1	4	yes	—
51	#385	C₂²	1	8	yes	complemented
52	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
53	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
54	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
55	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
56	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
57	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
58	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×#41	—	2	4	no	—
60	C₂×#41	—	2	4	no	—
61	C₂×#41	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
62	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
64	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
65	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
66	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
71	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂³×C₄	C₂³	1	8	yes	—
76	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#127	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
78	#124	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
79	#121	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
80	#120	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
81	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
82	C₄×D₄	—	2	16	no	—
83	C₄×D₄	—	2	8	no	—
84	C₄×D₄	—	2	16	no	—
85	C₄×D₄	—	2	16	no	—
86	C₄×D₄	—	4	16	no	—
87	#117	—	2	4	no	—
88	#117	—	2	8	no	—
89	#117	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
90	#117	D₄	1	8	yes	complemented
91	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
92	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
101	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
102	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
105	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
112	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
113	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
116	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
119	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
121	#95	C₂³	1	8	yes	—
122	#95	C₂³	1	4	yes	—
123	#95	C₂³	1	8	yes	—
124	#95	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂⁴	—	2	4	no	—
126	C₂⁴	—	2	4	no	—
127	C₂⁴	—	4	4	no	—
128	C₂⁴	—	4	4	no	—
129	C₂⁴	C₂²×C₄	1	8	yes	—
130	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
131	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
132	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
133	#41	—	2	32	no	—
134	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
135	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
136	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
137	C₂×D₄	—	2	4	no	—
138	C₂×D₄	—	2	4	no	—
139	C₂×D₄	—	2	32	no	—
140	C₂×D₄	—	2	4	no	—
141	C₂×D₄	—	2	4	no	—
142	C₂×D₄	—	2	2	no	—
143	C₂×D₄	—	2	4	no	—
144	C₂×D₄	—	2	4	no	—
145	C₂×D₄	—	2	2	no	—
146	C₂×D₄	—	4	8	no	—
147	C₂×D₄	—	4	8	no	—
148	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
149	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
150	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
151	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
152	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
153	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
161	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
165	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
166	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
167	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
168	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
169	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
179	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
181	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
182	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
183	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
184	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
185	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
186	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
187	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
189	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
190	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
191	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
192	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
193	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
194	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
195	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
196	C₄²	—	2	2	no	—
197	C₄²	—	2	2	no	—
198	C₄²	—	2	8	no	—
199	C₄²	—	2	4	no	—
200	C₄²	—	2	4	no	—
201	C₄²	—	4	8	no	—
202	C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
203	C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
204	C₂³	—	2	2	no	—
205	C₂³	—	2	2	no	—
206	C₂³	—	2	2	no	—
207	C₂³	—	2	4	no	—
208	C₂³	—	2	2	no	—
209	C₂³	—	2	4	no	—
210	C₂³	—	2	8	no	—
211	C₂³	—	2	4	no	—
212	C₂³	—	2	4	no	—
213	C₂³	—	2	8	no	—
214	C₂³	—	2	16	no	—
215	C₂³	—	4	16	no	—
216	C₂³	—	8	8	no	—
217	C₂³	—	8	4	no	—
218	C₂³	—	8	4	no	—
219	C₂³	C₂³×C₄	1	8	yes	—
220	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
221	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
222	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
223	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
224	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
225	Q₈	—	2	8	no	—
226	D₄	—	2	16	no	—
227	D₄	—	2	16	no	—
228	D₄	—	2	16	no	—
229	D₄	—	2	8	no	—
230	D₄	—	4	32	no	—
231	C₂×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂×C₄	—	2	16	no	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂×C₄	—	2	8	no	—
244	C₂×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂×C₄	—	4	16	no	—
249	C₂×C₄	—	4	8	no	—
250	C₂×C₄	—	8	16	no	—
251	C₂×C₄	—	8	4	no	—
252	C₂×C₄	C₄×D₄	1	16	yes	complemented
253	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
254	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
255	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
256	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
257	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
258	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
259	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
260	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
261	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
262	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
263	C₂²	—	2	4	no	—
264	C₂²	—	2	4	no	—
265	C₂²	—	2	2	no	—
266	C₂²	—	2	2	no	—
267	C₂²	—	2	4	no	—
268	C₂²	—	2	8	no	—
269	C₂²	—	2	8	no	—
270	C₂²	—	2	16	no	—
271	C₂²	—	4	4	no	—
272	C₂²	—	4	8	no	—
273	C₂²	—	4	2	no	—
274	C₂²	—	4	4	no	—
275	C₂²	—	4	2	no	—
276	C₂²	—	4	4	no	—
277	C₂²	—	8	16	no	—
278	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
279	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
282	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
283	C₂²	#585	1	2	yes	—
284	C₄	—	2	4	no	—
285	C₄	—	2	8	no	—
286	C₄	—	2	4	no	—
287	C₄	—	2	8	no	—
288	C₄	—	4	2	no	—
289	C₄	—	4	4	no	—
290	C₄	—	4	4	no	—
291	C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
292	C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
293	C₂	—	2	4	no	—
294	C₂	—	4	4	no	—
295	C₂	—	4	8	no	—
296	C₂	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
297	C₂	C₄×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
298	C₂	#3488	1	2	yes	—
299	C₂	#3508	1	1	yes	characteristic
300	C₂	#3510	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂×#535	C₂
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#518	C₂	semidirect
3. C₂×C₄×#41	C₂	semidirect
4. #2367	C₂	semidirect
5. #2366	C₂	semidirect
6. #2358	C₂	semidirect
7. #2324	C₂	semidirect
8. #2311	C₂	semidirect
9. C₄×#121	C₂	semidirect
10. #2296	C₂	semidirect
11. C₂×#390	C₂	semidirect
12. #2274	C₂	semidirect
15. #535	C₄	semidirect
22. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
26. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
27. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
31. C₂×#117	C₂²	semidirect
36. C₂²×C₄²	C₂²	semidirect
37. #391	C₂²	semidirect
41. #390	C₂²	semidirect
42. #390	C₂²	semidirect
43. #389	C₂²	semidirect
44. #389	C₂²	semidirect
45. #388	C₂²	semidirect
46. #388	C₂²	semidirect
48. #386	C₂²	semidirect
49. #386	C₂²	semidirect
51. #385	C₂²	semidirect
52. #380	C₂²	semidirect
53. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
54. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
55. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
57. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
61. C₂×#41	C₂×C₄	semidirect
65. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
77. #127	C₂×C₄	semidirect
78. #124	C₂×C₄	semidirect
79. #121	C₂×C₄	semidirect
80. #120	C₂×C₄	semidirect
89. #117	C₂×C₄	semidirect
90. #117	D₄	semidirect
252. C₂×C₄	C₄×D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#535	2
C₂×#518	2
C₂×C₄×#41	2
#2367	2
#2366	2
#2358	2
#2324	2
#2311	2
C₄×#121	2
#2296	2
C₂×#390	2
#2274	2