Subgroups — #34280

Order 256.

1243 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 310 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#540	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2374	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#2364	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#2363	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2359	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2330	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#2328	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#2324	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2314	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₄×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×#125	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₄×#121	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2293	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2275	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#540	C₄	1	16	yes	complemented
17	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#390	C₂²	1	4	yes	—
32	#390	C₂²	1	2	yes	—
33	#390	C₂²	1	2	yes	—
34	#390	C₂²	1	4	yes	—
35	#389	C₂²	1	2	yes	—
36	#389	C₂²	1	2	yes	—
37	#389	C₂²	1	4	yes	—
38	#388	C₂²	1	4	yes	—
39	#388	C₂²	1	4	yes	—
40	#388	C₂²	1	4	yes	—
41	#388	C₂²	1	4	yes	—
42	#388	C₂²	1	4	yes	—
43	#387	C₂²	1	4	yes	—
44	#387	C₂²	1	4	yes	—
45	#387	C₂²	1	4	yes	—
46	#386	C₂²	1	4	yes	—
47	#386	C₂²	1	4	yes	—
48	#386	C₂²	1	4	yes	—
49	#386	C₂²	1	4	yes	—
50	#385	C₂²	1	4	yes	—
51	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
52	#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
53	#380	C₂²	1	2	yes	—
54	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
55	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
56	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
57	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
58	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
59	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
60	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
61	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
62	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
63	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
64	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
65	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
66	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
67	#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
68	#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
69	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	—
70	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
71	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
80	#127	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
81	#125	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
82	#123	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
83	#121	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
84	#121	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
85	C₄×D₄	—	2	8	no	—
86	C₄×D₄	—	2	8	no	—
87	C₄×D₄	—	4	8	no	—
88	C₄×D₄	—	4	8	no	—
89	C₄×D₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
90	#117	—	2	4	no	—
91	#117	—	4	8	no	—
92	#117	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
93	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
122	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
123	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
126	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
130	#95	C₂³	1	2	yes	—
131	#95	C₂³	1	4	yes	—
132	#95	C₂³	1	4	yes	—
133	#95	C₂³	1	4	yes	—
134	#95	C₂³	1	2	yes	—
135	#95	C₂³	1	2	yes	—
136	#95	C₂³	1	2	yes	—
137	#95	C₂³	1	4	yes	—
138	#95	C₂³	1	4	yes	—
139	#95	C₂³	1	4	yes	—
140	#95	C₂³	1	4	yes	—
141	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
142	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
143	C₂×D₄	—	2	4	no	—
144	C₂×D₄	—	2	4	no	—
145	C₂×D₄	—	4	4	no	—
146	C₂×D₄	—	4	4	no	—
147	C₂×D₄	—	4	4	no	—
148	C₂×D₄	—	4	4	no	—
149	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
150	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
151	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
152	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
158	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
159	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
161	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
163	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
165	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
167	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
180	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
183	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
184	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
185	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
186	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
187	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
188	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
189	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
190	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
193	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
194	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
195	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
196	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
199	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
200	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
201	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
202	C₄²	—	2	4	no	—
203	C₄²	—	2	2	no	—
204	C₄²	—	2	2	no	—
205	C₄²	—	2	4	no	—
206	C₄²	—	2	4	no	—
207	C₄²	—	4	2	no	—
208	C₄²	—	4	4	no	—
209	C₄²	—	4	2	no	—
210	C₄²	—	4	4	no	—
211	C₄²	—	4	4	no	—
212	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
213	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
214	C₄²	#41	1	4	yes	—
215	C₄²	#41	1	4	yes	—
216	C₂³	—	2	1	no	—
217	C₂³	—	2	4	no	—
218	C₂³	—	2	4	no	—
219	C₂³	—	2	1	no	—
220	C₂³	—	2	4	no	—
221	C₂³	—	2	4	no	—
222	C₂³	—	2	2	no	—
223	C₂³	—	2	4	no	—
224	C₂³	—	2	4	no	—
225	C₂³	—	2	2	no	—
226	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
227	C₂³	C₂³×C₄	1	8	yes	—
228	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
229	D₄	—	2	16	no	—
230	D₄	—	4	16	no	—
231	D₄	—	4	16	no	—
232	C₂×C₄	—	2	1	no	—
233	C₂×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄	—	2	1	no	—
235	C₂×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂×C₄	—	2	8	no	—
247	C₂×C₄	—	2	1	no	—
248	C₂×C₄	—	2	1	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂×C₄	—	4	16	no	—
258	C₂×C₄	—	4	8	no	—
259	C₂×C₄	—	8	8	no	—
260	C₂×C₄	—	8	8	no	—
261	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
262	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
263	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
264	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
265	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
266	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
267	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
268	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
269	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
270	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
271	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
272	C₂²	—	2	2	no	—
273	C₂²	—	2	8	no	—
274	C₂²	—	2	8	no	—
275	C₂²	—	2	8	no	—
276	C₂²	—	2	4	no	—
277	C₂²	—	4	2	no	—
278	C₂²	—	4	4	no	—
279	C₂²	—	4	4	no	—
280	C₂²	—	4	4	no	—
281	C₂²	—	4	1	no	—
282	C₂²	—	4	1	no	—
283	C₂²	—	4	4	no	—
284	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
286	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
287	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
288	C₂²	#585	1	2	yes	—
289	C₄	—	2	2	no	—
290	C₄	—	2	4	no	—
291	C₄	—	2	8	no	—
292	C₄	—	2	4	no	—
293	C₄	—	2	4	no	—
294	C₄	—	2	4	no	—
295	C₄	—	2	2	no	—
296	C₄	—	2	2	no	—
297	C₄	—	4	4	no	—
298	C₄	—	4	1	no	—
299	C₄	—	4	4	no	—
300	C₄	—	4	1	no	—
301	C₄	C₄×#41	1	4	yes	—
302	C₂	—	4	2	no	—
303	C₂	—	4	8	no	—
304	C₂	C₂×C₄×#41	1	1	yes	characteristic
305	C₂	C₄×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
306	C₂	#3494	1	2	yes	—
307	C₂	#3508	1	1	yes	characteristic
308	C₂	#3512	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂×#540	C₂
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2374	C₂	semidirect
3. #2364	C₂	semidirect
4. #2363	C₂	semidirect
5. #2359	C₂	semidirect
6. #2330	C₂	semidirect
7. #2328	C₂	semidirect
8. #2324	C₂	semidirect
9. #2314	C₂	semidirect
10. C₄×#127	C₂	semidirect
11. C₄×#125	C₂	semidirect
12. C₄×#121	C₂	semidirect
13. #2293	C₂	semidirect
14. #2275	C₂	semidirect
15. C₄×#117	C₂	semidirect
16. #540	C₄	semidirect
80. #127	C₂×C₄	semidirect
81. #125	C₂×C₄	semidirect
82. #123	C₂×C₄	semidirect
83. #121	C₂×C₄	semidirect
84. #121	C₂×C₄	semidirect
89. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
92. #117	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#540	2
#2374	2
#2364	2
#2363	2
#2359	2
#2330	2
#2328	2
#2324	2
#2314	2
C₄×#127	2
C₄×#125	2
C₄×#121	2
#2293	2
#2275	2
C₄×#117	2