Subgroups — #34308

Order 256.

1562 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 384 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#547	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#520	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2365	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2361	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2360	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2359	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	D₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	D₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#2344	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2339	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2323	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2322	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	C₄×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₄×#121	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	#2293	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂×#389	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
17	C₄²×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
19	#547	C₄	1	16	yes	complemented
20	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
24	#520	—	2	16	no	—
25	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
38	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
42	#391	C₂²	1	2	yes	—
43	#391	C₂²	1	2	yes	—
44	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#389	C₂²	1	2	yes	—
47	#389	C₂²	1	2	yes	—
48	#389	C₂²	1	4	yes	—
49	#389	C₂²	1	2	yes	—
50	#389	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	#389	C₂²	1	2	yes	—
52	#389	C₂²	1	4	yes	—
53	#389	C₂²	1	2	yes	—
54	#389	C₂²	1	1	yes	characteristic
55	#388	C₂²	1	2	yes	—
56	#388	C₂²	1	4	yes	—
57	#388	C₂²	1	4	yes	—
58	#388	C₂²	1	2	yes	—
59	#387	C₂²	1	4	yes	—
60	#387	C₂²	1	4	yes	—
61	#387	C₂²	1	4	yes	—
62	#386	C₂²	1	4	yes	—
63	#386	C₂²	1	4	yes	—
64	#385	C₂²	1	4	yes	—
65	#385	C₂²	1	4	yes	—
66	#385	C₂²	1	4	yes	—
67	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
68	#381	C₂²	1	4	yes	—
69	#380	C₂²	1	2	yes	—
70	#380	C₂²	1	2	yes	—
71	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
72	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
73	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
74	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
75	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
76	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
77	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
78	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
79	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
80	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
81	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
82	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
83	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	—
84	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
85	C₂×#41	—	2	8	no	—
86	C₂×#41	—	2	8	no	—
87	C₂×#41	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
88	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
99	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
100	#123	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
101	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
102	#121	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
103	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
104	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
105	C₄×D₄	—	2	8	no	—
106	C₄×D₄	—	2	4	no	—
107	C₄×D₄	—	2	16	no	—
108	C₄×D₄	—	2	16	no	—
109	C₄×D₄	—	4	4	no	—
110	C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
111	C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
112	C₄×D₄	D₄	1	8	yes	complemented
113	#117	—	2	16	no	—
114	#117	—	2	8	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
148	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
149	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
162	#95	C₂³	1	2	yes	—
163	#95	C₂³	1	4	yes	—
164	#95	C₂³	1	4	yes	—
165	#95	C₂³	1	4	yes	—
166	#95	C₂³	1	2	yes	—
167	#95	C₂³	1	2	yes	—
168	#95	C₂³	1	2	yes	—
169	#95	C₂³	1	4	yes	—
170	#95	C₂³	1	2	yes	—
171	#95	C₂³	1	4	yes	—
172	#95	C₂³	1	4	yes	—
173	#95	C₂³	1	2	yes	—
174	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
175	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
176	#41	—	2	64	no	—
177	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
178	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
179	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
180	C₂×D₄	—	2	8	no	—
181	C₂×D₄	—	2	8	no	—
182	C₂×D₄	—	2	2	no	—
183	C₂×D₄	—	2	2	no	—
184	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
185	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
186	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
187	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	C₂×D₄	#41	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
225	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
226	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
237	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
238	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
239	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
240	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
241	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
242	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
251	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
252	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
253	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
254	C₄²	—	2	8	no	—
255	C₄²	—	2	8	no	—
256	C₄²	—	2	4	no	—
257	C₄²	—	2	2	no	—
258	C₄²	—	2	2	no	—
259	C₄²	—	2	4	no	—
260	C₄²	—	2	2	no	—
261	C₄²	—	2	2	no	—
262	C₄²	—	4	2	no	—
263	C₄²	—	4	2	no	—
264	C₄²	—	4	1	no	—
265	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
266	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	2	2	no	—
272	C₂³	—	2	2	no	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
278	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
279	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
280	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
281	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
282	Q₈	—	2	16	no	—
283	D₄	—	2	32	no	—
284	D₄	—	2	8	no	—
285	D₄	C₄×D₄	1	16	yes	complemented
286	C₂×C₄	—	2	32	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	1	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	1	no	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂×C₄	—	2	1	no	—
298	C₂×C₄	—	2	1	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	1	no	—
301	C₂×C₄	—	2	1	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	16	no	—
304	C₂×C₄	—	2	16	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	1	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	1	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	8	no	—
321	C₂×C₄	—	4	8	no	—
322	C₂×C₄	—	8	8	no	—
323	C₂×C₄	—	8	8	no	—
324	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
326	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
327	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
328	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
338	C₂²	—	2	4	no	—
339	C₂²	—	2	4	no	—
340	C₂²	—	2	4	no	—
341	C₂²	—	2	4	no	—
342	C₂²	—	2	4	no	—
343	C₂²	—	2	4	no	—
344	C₂²	—	2	4	no	—
345	C₂²	—	2	4	no	—
346	C₂²	—	2	4	no	—
347	C₂²	—	4	2	no	—
348	C₂²	—	4	2	no	—
349	C₂²	—	4	2	no	—
350	C₂²	—	4	2	no	—
351	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	8	yes	—
352	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
359	C₄	—	2	4	no	—
360	C₄	—	2	8	no	—
361	C₄	—	2	4	no	—
362	C₄	—	2	2	no	—
363	C₄	—	2	2	no	—
364	C₄	—	2	4	no	—
365	C₄	—	2	2	no	—
366	C₄	—	2	2	no	—
367	C₄	—	4	4	no	—
368	C₄	—	4	2	no	—
369	C₄	—	4	2	no	—
370	C₄	—	4	1	no	—
371	C₄	—	4	2	no	—
372	C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
373	C₄	#520	1	4	yes	complemented
374	C₂	—	2	8	no	—
375	C₂	—	4	4	no	—
376	C₂	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
377	C₂	C₂×#520	1	1	yes	characteristic
378	C₂	C₄×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#3496	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#3499	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#3515	1	1	yes	characteristic
382	C₂	#3520	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂×#547	C₂
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#520	C₂	semidirect
3. #2365	C₂	semidirect
4. #2361	C₂	semidirect
5. #2360	C₂	semidirect
6. #2359	C₂	semidirect
7. D₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
8. D₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
9. #2344	C₂	semidirect
10. #2339	C₂	semidirect
11. #2323	C₂	semidirect
12. #2322	C₂	semidirect
13. C₄×C₄⋊Q₈	C₂	semidirect
14. C₄×#121	C₂	semidirect
15. #2293	C₂	semidirect
16. C₂×#389	C₂	semidirect
17. C₄²×D₄	C₂	semidirect
19. #547	C₄	semidirect
87. C₂×#41	C₂×C₄	semidirect
99. C₄⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
100. #123	C₂×C₄	semidirect
101. C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
102. #121	C₂×C₄	semidirect
110. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
111. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
112. C₄×D₄	D₄	semidirect
118. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
285. D₄	C₄×D₄	semidirect
373. C₄	#520	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#547	2
C₂×#520	2
#2365	2
#2361	2
#2360	2
#2359	2
D₄×C₄⋊C₄	2
#2344	2
#2339	2
#2323	2
#2322	2
C₄×C₄⋊Q₈	2
C₄×#121	2
#2293	2
C₂×#389	2
C₄²×D₄	2