Subgroups — #343138

Order 512.

988 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 427 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#24242	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#24184	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1621	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#10474	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10472	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10434	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#9824	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#9657	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#9656	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#550	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#460	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#459	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#452	—	2	2	no	—
15	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2538	C₂²	1	2	yes	—
18	#2041	—	2	2	no	—
19	#2033	—	2	2	no	—
20	#2011	—	2	2	no	—
21	#2000	—	2	2	no	—
22	#1984	C₂²	1	2	yes	—
23	#1957	C₂²	1	2	yes	—
24	#1957	C₂²	1	2	yes	—
25	#1954	C₂²	1	2	yes	—
26	#1879	—	2	2	no	—
27	#1862	—	2	2	no	—
28	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1803	C₂²	1	2	yes	—
30	#1802	C₂²	1	2	yes	—
31	#1788	—	2	2	no	—
32	#1621	—	2	8	no	—
33	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1296	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×#41	—	2	2	no	—
41	C₂²×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
43	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
44	C₂²×D₈	—	4	1	no	—
45	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
46	#550	—	2	4	no	—
47	#550	—	4	2	no	—
48	#550	—	4	2	no	—
49	#550	—	4	2	no	—
50	C₂×#127	—	2	2	no	—
51	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
53	C₂×#121	—	2	2	no	—
54	C₂×#121	—	4	2	no	—
55	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
58	#493	—	4	1	no	—
59	#493	D₄	1	4	yes	—
60	#460	—	2	4	no	—
61	#460	—	4	2	no	—
62	#459	—	2	4	no	—
63	#459	—	4	2	no	—
64	#452	—	4	8	no	—
65	C₄×Q₁₆	—	4	1	no	—
66	C₄×Q₁₆	—	4	1	no	—
67	C₄×D₈	—	4	1	no	—
68	C₄×D₈	—	4	1	no	—
69	C₂×#107	—	4	1	no	—
70	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×#103	—	2	2	no	—
75	C₂×#103	D₄	1	2	yes	—
76	C₂×#102	—	2	2	no	—
77	C₂×#102	—	2	2	no	—
78	C₂×#102	—	2	2	no	—
79	C₂×#102	—	2	2	no	—
80	C₂×#102	—	2	2	no	—
81	C₂×#102	—	2	2	no	—
82	C₂×#102	—	2	2	no	—
83	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#396	—	4	2	no	—
90	#390	—	2	2	no	—
91	#389	—	2	2	no	—
92	#384	C₂³	1	2	yes	—
93	#380	—	2	2	no	—
94	#340	—	2	2	no	—
95	#340	—	2	2	no	—
96	#336	—	2	2	no	—
97	#336	—	2	2	no	—
98	#335	—	4	1	no	—
99	#335	—	4	1	no	—
100	#331	—	2	4	no	—
101	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
102	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
103	C₈²	—	4	1	no	—
104	C₂×#41	—	4	4	no	—
105	C₂×#41	—	4	4	no	—
106	C₂×#41	—	4	4	no	—
107	C₂×#41	—	4	4	no	—
108	C₂×#41	—	8	2	no	—
109	C₂×#41	—	8	2	no	—
110	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
111	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
116	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
119	C₂×Q₁₆	—	4	1	no	—
120	C₂×Q₁₆	—	4	1	no	—
121	C₂×Q₁₆	D₈	1	4	yes	complemented
122	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
123	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
124	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
125	C₂×D₈	—	2	2	no	—
126	C₂×D₈	—	4	1	no	—
127	C₂×D₈	—	4	1	no	—
128	C₂×D₈	—	4	4	no	—
129	C₂×D₈	—	4	4	no	—
130	C₂×D₈	—	4	4	no	—
131	C₂×D₈	—	8	2	no	—
132	C₂×D₈	—	8	2	no	—
133	C₂×D₈	—	8	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	#127	—	2	2	no	—
142	#127	—	2	2	no	—
143	#127	—	2	2	no	—
144	#127	—	4	4	no	—
145	#127	—	4	4	no	—
146	#127	C₂×D₄	1	4	yes	—
147	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
148	C₂²⋊Q₈	—	8	2	no	—
149	#121	—	4	4	no	—
150	#121	—	4	4	no	—
151	#121	—	4	8	no	—
152	#121	—	4	8	no	—
153	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
154	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
155	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
156	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
157	C₄×D₄	—	2	2	no	—
158	C₄×D₄	—	2	2	no	—
159	C₄×D₄	—	2	2	no	—
160	C₄×D₄	—	2	2	no	—
161	C₄×D₄	—	4	4	no	—
162	C₄×D₄	—	4	4	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
176	#107	—	4	1	no	—
177	#107	—	4	1	no	—
178	#107	—	8	2	no	—
179	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
180	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
181	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
182	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
183	#103	—	4	2	no	—
184	#103	—	4	4	no	—
185	#102	—	4	2	no	—
186	#102	—	4	4	no	—
187	#102	—	4	4	no	—
188	#102	—	4	4	no	—
189	#102	—	4	4	no	—
190	#102	—	8	2	no	—
191	#102	—	8	2	no	—
192	#102	—	8	2	no	—
193	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
194	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
195	C₄×C₈	—	2	1	no	—
196	C₄×C₈	—	2	1	no	—
197	C₄×C₈	—	2	1	no	—
198	C₄×C₈	—	2	1	no	—
199	C₄×C₈	—	2	1	no	—
200	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	#95	—	4	2	no	—
202	C₂⁴	—	2	2	no	—
203	C₂⁴	—	4	2	no	—
204	#41	—	8	8	no	—
205	#41	—	8	8	no	—
206	#41	—	8	8	no	—
207	#41	—	8	8	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
211	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
213	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
214	C₂×D₄	—	2	2	no	—
215	C₂×D₄	—	2	4	no	—
216	C₂×D₄	—	2	4	no	—
217	C₂×D₄	—	2	4	no	—
218	C₂×D₄	—	2	2	no	—
219	C₂×D₄	—	2	2	no	—
220	C₂×D₄	—	2	2	no	—
221	C₂×D₄	—	2	2	no	—
222	C₂×D₄	—	2	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	8	no	—
224	C₂×D₄	—	4	8	no	—
225	C₂×D₄	—	4	2	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	2	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	—	4	2	no	—
231	C₂×D₄	—	4	2	no	—
232	C₂×D₄	—	4	2	no	—
233	C₂×D₄	—	4	2	no	—
234	C₂×D₄	—	4	2	no	—
235	C₂×D₄	—	4	2	no	—
236	C₂×D₄	—	8	4	no	—
237	C₂×D₄	—	8	2	no	—
238	C₂×D₄	—	8	2	no	—
239	C₂×D₄	—	8	4	no	—
240	C₂×D₄	—	16	2	no	—
241	C₂×D₄	—	16	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
258	Q₁₆	—	4	4	no	—
259	SD₁₆	—	8	8	no	—
260	D₈	—	4	4	no	—
261	D₈	—	8	8	no	—
262	D₈	—	8	8	no	—
263	C₂×C₈	—	2	2	no	—
264	C₂×C₈	—	2	2	no	—
265	C₂×C₈	—	2	1	no	—
266	C₂×C₈	—	2	1	no	—
267	C₂×C₈	—	2	2	no	—
268	C₂×C₈	—	2	1	no	—
269	C₂×C₈	—	2	1	no	—
270	C₂×C₈	—	2	1	no	—
271	C₂×C₈	—	2	1	no	—
272	C₂×C₈	—	2	1	no	—
273	C₂×C₈	—	2	1	no	—
274	C₂×C₈	—	2	1	no	—
275	C₂×C₈	—	2	1	no	—
276	C₂×C₈	—	4	2	no	—
277	C₂×C₈	—	4	2	no	—
278	C₂×C₈	—	4	2	no	—
279	C₂×C₈	—	4	2	no	—
280	C₂×C₈	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	—	4	2	no	—
282	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
283	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
284	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
301	C₄²	—	4	2	no	—
302	C₄²	—	4	2	no	—
303	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
304	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
305	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
306	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
307	C₂³	—	4	4	no	—
308	C₂³	—	4	2	no	—
309	C₂³	—	4	2	no	—
310	C₂³	—	4	2	no	—
311	C₂³	—	4	2	no	—
312	C₂³	—	4	2	no	—
313	C₂³	—	4	2	no	—
314	C₂³	—	4	2	no	—
315	C₂³	—	8	2	no	—
316	C₂³	—	8	2	no	—
317	C₂³	—	8	2	no	—
318	C₂³	—	8	2	no	—
319	C₂³	—	8	2	no	—
320	C₂³	—	8	2	no	—
321	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
322	Q₈	—	2	4	no	—
323	Q₈	—	2	4	no	—
324	Q₈	—	4	2	no	—
325	Q₈	—	4	2	no	—
326	D₄	—	4	2	no	—
327	D₄	—	4	2	no	—
328	D₄	—	4	2	no	—
329	D₄	—	4	4	no	—
330	D₄	—	4	4	no	—
331	D₄	—	4	4	no	—
332	D₄	—	4	2	no	—
333	D₄	—	4	4	no	—
334	D₄	—	8	4	no	—
335	D₄	—	8	16	no	—
336	D₄	—	8	2	no	—
337	D₄	—	8	2	no	—
338	D₄	—	8	2	no	—
339	D₄	—	8	2	no	—
340	D₄	—	16	2	no	—
341	D₄	—	16	8	no	—
342	C₂×C₄	—	2	1	no	—
343	C₂×C₄	—	2	1	no	—
344	C₂×C₄	—	2	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	2	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	2	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	8	16	no	—
354	C₂×C₄	—	8	2	no	—
355	C₂×C₄	—	8	2	no	—
356	C₂×C₄	—	8	2	no	—
357	C₂×C₄	—	8	2	no	—
358	C₂×C₄	—	8	2	no	—
359	C₂×C₄	—	8	2	no	—
360	C₂×C₄	—	8	2	no	—
361	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	H(3,𝔽₄)	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	#575	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	#575	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
375	C₈	—	2	4	no	—
376	C₈	—	2	2	no	—
377	C₈	—	2	2	no	—
378	C₈	—	4	1	no	—
379	C₈	—	4	1	no	—
380	C₈	—	8	2	no	—
381	C₈	—	8	2	no	—
382	C₂²	—	8	2	no	—
383	C₂²	—	8	4	no	—
384	C₂²	—	8	2	no	—
385	C₂²	—	8	2	no	—
386	C₂²	—	8	2	no	—
387	C₂²	—	8	4	no	—
388	C₂²	—	8	4	no	—
389	C₂²	—	8	2	no	—
390	C₂²	—	8	2	no	—
391	C₂²	—	8	2	no	—
392	C₂²	—	16	2	no	—
393	C₂²	—	16	2	no	—
394	C₂²	—	16	2	no	—
395	C₂²	—	16	2	no	—
396	C₂²	#2679	1	1	yes	characteristic
397	C₂²	#3273	1	1	yes	characteristic
398	C₂²	#3277	1	1	yes	characteristic
399	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
400	C₂²	#3287	1	1	yes	characteristic
401	C₂²	#3291	1	1	yes	characteristic
402	C₂²	#3292	1	1	yes	characteristic
403	C₄	—	2	1	no	—
404	C₄	—	2	1	no	—
405	C₄	—	4	4	no	—
406	C₄	—	8	2	no	—
407	C₄	—	8	2	no	—
408	C₄	—	16	2	no	—
409	C₄	#3186	1	1	yes	characteristic
410	C₄	#3191	1	1	yes	characteristic
411	C₄	#3199	1	1	yes	characteristic
412	C₄	#3203	1	1	yes	characteristic
413	C₄	#3273	1	1	yes	characteristic
414	C₄	#3273	1	1	yes	characteristic
415	C₄	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
416	C₄	#3283	1	1	yes	characteristic
417	C₂	—	16	2	no	—
418	C₂	—	16	4	no	—
419	C₂	#19888	1	1	yes	characteristic
420	C₂	#19961	1	1	yes	characteristic
421	C₂	#19975	1	1	yes	characteristic
422	C₂	#20308	1	1	yes	characteristic
423	C₂	#31056	1	1	yes	characteristic
424	C₂	#31060	1	1	yes	characteristic
425	C₂	#31070	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #24242	C₂	semidirect
2. #24184	C₂	semidirect
3. C₂×#1621	C₂	semidirect
4. #10474	C₂	semidirect
5. #10472	C₂	semidirect
6. #10434	C₂	semidirect
7. #9824	C₂	semidirect
8. #9657	C₂	semidirect
9. #9656	C₂	semidirect
121. C₂×Q₁₆	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#24242	2
#24184	2
C₂×#1621	2
#10474	2
#10472	2
#10434	2
#9824	2
#9657	2
#9656	2