Subgroups — #34316

Order 256.

1274 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 371 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#547	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2374	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#2365	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2363	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2362	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2354	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#2354	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#2345	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2341	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2335	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2324	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₄×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₄×C₂²⋊Q₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2297	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	#2293	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#2274	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
17	C₄²×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
19	#547	C₄	1	16	yes	complemented
20	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
35	#391	C₂²	1	2	yes	—
36	#391	C₂²	1	2	yes	—
37	#390	C₂²	1	4	yes	—
38	#390	C₂²	1	2	yes	—
39	#390	C₂²	1	4	yes	—
40	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#390	C₂²	1	2	yes	—
42	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#389	C₂²	1	2	yes	—
44	#389	C₂²	1	2	yes	—
45	#389	C₂²	1	2	yes	—
46	#389	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#389	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	#388	C₂²	1	4	yes	—
49	#388	C₂²	1	2	yes	—
50	#388	C₂²	1	4	yes	—
51	#388	C₂²	1	4	yes	—
52	#388	C₂²	1	4	yes	—
53	#388	C₂²	1	2	yes	—
54	#387	C₂²	1	4	yes	—
55	#387	C₂²	1	4	yes	—
56	#387	C₂²	1	4	yes	—
57	#386	C₂²	1	4	yes	—
58	#386	C₂²	1	4	yes	—
59	#385	C₂²	1	4	yes	—
60	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
61	#380	C₂²	1	2	yes	—
62	#380	C₂²	1	4	yes	—
63	#380	C₂²	1	2	yes	—
64	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
65	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
66	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
67	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
68	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
69	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
70	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
71	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
72	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
73	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
74	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
75	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
76	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
77	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
78	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
79	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
80	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
81	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
82	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
83	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
84	C₂×#41	—	4	4	no	—
85	C₂×#41	—	4	4	no	—
86	C₂×#41	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
87	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
96	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
97	#123	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
98	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
99	#121	C₂×C₄	1	16	yes	—
100	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
101	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
102	C₄×D₄	—	2	4	no	—
103	C₄×D₄	—	2	4	no	—
104	C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
105	C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
106	#117	—	2	8	no	—
107	#117	—	2	8	no	—
108	#117	—	4	4	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
139	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
140	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
155	#95	C₂³	1	2	yes	—
156	#95	C₂³	1	2	yes	—
157	#95	C₂³	1	2	yes	—
158	#95	C₂³	1	4	yes	—
159	#95	C₂³	1	2	yes	—
160	#95	C₂³	1	4	yes	—
161	#95	C₂³	1	4	yes	—
162	#95	C₂³	1	4	yes	—
163	#95	C₂³	1	4	yes	—
164	#95	C₂³	1	2	yes	—
165	#95	C₂³	1	4	yes	—
166	#95	C₂³	1	2	yes	—
167	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
168	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
169	#41	—	4	32	no	—
170	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
171	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
172	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
173	C₂×D₄	—	2	2	no	—
174	C₂×D₄	—	2	2	no	—
175	C₂×D₄	—	2	2	no	—
176	C₂×D₄	—	2	2	no	—
177	C₂×D₄	—	4	4	no	—
178	C₂×D₄	—	4	4	no	—
179	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
180	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
181	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
182	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
194	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
212	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
213	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
214	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
215	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
216	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
217	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
218	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
219	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
220	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
221	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
222	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
223	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
224	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
225	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
226	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
227	C₄⋊C₄	#41	1	4	yes	complemented
228	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
238	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
239	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
240	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
241	C₄²	—	2	8	no	—
242	C₄²	—	2	4	no	—
243	C₄²	—	2	2	no	—
244	C₄²	—	2	2	no	—
245	C₄²	—	2	4	no	—
246	C₄²	—	2	2	no	—
247	C₄²	—	2	2	no	—
248	C₄²	—	4	2	no	—
249	C₄²	—	4	2	no	—
250	C₄²	—	4	1	no	—
251	C₄²	—	4	4	no	—
252	C₄²	—	4	4	no	—
253	C₄²	—	4	4	no	—
254	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
255	C₄²	#41	1	4	yes	complemented
256	C₂³	—	2	2	no	—
257	C₂³	—	2	2	no	—
258	C₂³	—	2	2	no	—
259	C₂³	—	2	2	no	—
260	C₂³	—	2	2	no	—
261	C₂³	—	2	2	no	—
262	C₂³	—	2	2	no	—
263	C₂³	—	2	2	no	—
264	C₂³	—	2	2	no	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
269	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
270	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
271	Q₈	—	2	16	no	—
272	D₄	—	2	8	no	—
273	D₄	—	2	8	no	—
274	D₄	—	4	16	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	1	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	1	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	1	no	—
287	C₂×C₄	—	2	1	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	1	no	—
290	C₂×C₄	—	2	1	no	—
291	C₂×C₄	—	2	16	no	—
292	C₂×C₄	—	2	16	no	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	4	16	no	—
309	C₂×C₄	—	4	8	no	—
310	C₂×C₄	—	4	8	no	—
311	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
313	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
315	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
325	C₂²	—	2	4	no	—
326	C₂²	—	2	4	no	—
327	C₂²	—	2	4	no	—
328	C₂²	—	2	4	no	—
329	C₂²	—	2	4	no	—
330	C₂²	—	2	4	no	—
331	C₂²	—	4	2	no	—
332	C₂²	—	4	2	no	—
333	C₂²	—	4	2	no	—
334	C₂²	—	4	2	no	—
335	C₂²	—	4	2	no	—
336	C₂²	—	4	2	no	—
337	C₂²	—	4	2	no	—
338	C₂²	—	4	2	no	—
339	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
346	C₄	—	2	4	no	—
347	C₄	—	2	4	no	—
348	C₄	—	2	8	no	—
349	C₄	—	2	2	no	—
350	C₄	—	2	2	no	—
351	C₄	—	2	2	no	—
352	C₄	—	2	2	no	—
353	C₄	—	2	4	no	—
354	C₄	—	4	2	no	—
355	C₄	—	4	2	no	—
356	C₄	—	4	2	no	—
357	C₄	—	4	1	no	—
358	C₄	—	4	4	no	—
359	C₄	C₄×#41	1	4	yes	—
360	C₄	#518	1	4	yes	—
361	C₂	—	4	4	no	—
362	C₂	—	4	4	no	—
363	C₂	C₂×C₄×#41	1	1	yes	characteristic
364	C₂	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
365	C₂	C₄×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
366	C₂	#3506	1	1	yes	characteristic
367	C₂	#3511	1	1	yes	characteristic
368	C₂	#3517	1	1	yes	characteristic
369	C₂	#3520	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂×#547	C₂
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2374	C₂	semidirect
3. #2365	C₂	semidirect
4. #2363	C₂	semidirect
5. #2362	C₂	semidirect
6. #2354	C₂	semidirect
7. #2354	C₂	semidirect
8. #2345	C₂	semidirect
9. #2341	C₂	semidirect
10. #2335	C₂	semidirect
11. #2324	C₂	semidirect
12. C₄×C₄⋊Q₈	C₂	semidirect
13. C₄×C₂²⋊Q₈	C₂	semidirect
14. #2297	C₂	semidirect
15. #2293	C₂	semidirect
16. #2274	C₂	semidirect
17. C₄²×D₄	C₂	semidirect
19. #547	C₄	semidirect
86. C₂×#41	C₂×C₄	semidirect
96. C₄⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
97. #123	C₂×C₄	semidirect
98. C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
105. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
109. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
227. C₄⋊C₄	#41	semidirect
255. C₄²	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#547	2
#2374	2
#2365	2
#2363	2
#2362	2
#2354	2
#2345	2
#2341	2
#2335	2
#2324	2
C₄×C₄⋊Q₈	2
C₄×C₂²⋊Q₈	2
#2297	2
#2293	2
#2274	2
C₄²×D₄	2