Subgroups — #34321

Order 256.

1226 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 369 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#555	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2369	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2367	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#2363	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2361	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2354	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	D₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#2347	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2347	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2337	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2324	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₄×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₄×#121	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2296	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	#2293	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#2274	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
17	C₄²×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	#555	C₄	1	16	yes	complemented
19	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
36	#391	C₂²	1	2	yes	—
37	#391	C₂²	1	4	yes	—
38	#390	C₂²	1	2	yes	—
39	#390	C₂²	1	4	yes	—
40	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#389	C₂²	1	2	yes	—
43	#389	C₂²	1	2	yes	—
44	#389	C₂²	1	2	yes	—
45	#389	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#389	C₂²	1	2	yes	—
47	#389	C₂²	1	2	yes	—
48	#389	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	#388	C₂²	1	4	yes	—
50	#388	C₂²	1	2	yes	—
51	#388	C₂²	1	4	yes	—
52	#388	C₂²	1	4	yes	—
53	#388	C₂²	1	4	yes	—
54	#388	C₂²	1	4	yes	—
55	#388	C₂²	1	2	yes	—
56	#386	C₂²	1	4	yes	—
57	#386	C₂²	1	4	yes	—
58	#385	C₂²	1	4	yes	—
59	#385	C₂²	1	4	yes	—
60	#385	C₂²	1	4	yes	—
61	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
62	#383	C₂²	1	4	yes	—
63	#380	C₂²	1	2	yes	—
64	#380	C₂²	1	2	yes	—
65	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
66	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
67	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
68	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
69	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
70	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
71	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
72	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
73	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
74	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
75	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
76	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
77	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
78	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
79	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
80	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
81	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
82	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
83	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
94	#124	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
95	#121	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
96	#121	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
97	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
98	C₄×D₄	—	2	4	no	—
99	C₄×D₄	—	2	4	no	—
100	C₄×D₄	—	4	4	no	—
101	C₄×D₄	—	4	8	no	—
102	C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
103	C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
104	#117	—	2	8	no	—
105	#117	—	4	4	no	—
106	#117	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
107	#117	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
108	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
139	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
154	#95	C₂³	1	2	yes	—
155	#95	C₂³	1	2	yes	—
156	#95	C₂³	1	2	yes	—
157	#95	C₂³	1	4	yes	—
158	#95	C₂³	1	2	yes	—
159	#95	C₂³	1	4	yes	—
160	#95	C₂³	1	4	yes	—
161	#95	C₂³	1	2	yes	—
162	#95	C₂³	1	4	yes	—
163	#95	C₂³	1	4	yes	—
164	#95	C₂³	1	4	yes	—
165	#95	C₂³	1	2	yes	—
166	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
167	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
168	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
169	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
170	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
171	C₂×D₄	—	2	2	no	—
172	C₂×D₄	—	2	2	no	—
173	C₂×D₄	—	2	2	no	—
174	C₂×D₄	—	2	2	no	—
175	C₂×D₄	—	4	4	no	—
176	C₂×D₄	—	4	4	no	—
177	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
178	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
179	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
180	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
193	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
210	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
211	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
212	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
213	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
214	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
215	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
216	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
217	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
218	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
219	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
220	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
221	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
222	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
223	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
224	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
225	C₄⋊C₄	#41	1	4	yes	—
226	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
235	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
236	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
237	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
238	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
239	C₄²	—	2	4	no	—
240	C₄²	—	2	2	no	—
241	C₄²	—	2	2	no	—
242	C₄²	—	2	4	no	—
243	C₄²	—	2	2	no	—
244	C₄²	—	2	2	no	—
245	C₄²	—	4	2	no	—
246	C₄²	—	4	2	no	—
247	C₄²	—	4	1	no	—
248	C₄²	—	4	4	no	—
249	C₄²	—	4	4	no	—
250	C₄²	—	4	4	no	—
251	C₄²	C₂²×C₄	1	16	yes	—
252	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
253	C₄²	#41	1	4	yes	—
254	C₂³	—	2	2	no	—
255	C₂³	—	2	2	no	—
256	C₂³	—	2	2	no	—
257	C₂³	—	2	2	no	—
258	C₂³	—	2	2	no	—
259	C₂³	—	2	2	no	—
260	C₂³	—	2	2	no	—
261	C₂³	—	2	2	no	—
262	C₂³	—	2	2	no	—
263	C₂³	—	2	2	no	—
264	C₂³	—	2	2	no	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
267	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
268	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
269	Q₈	—	4	8	no	—
270	D₄	—	2	8	no	—
271	D₄	—	2	8	no	—
272	D₄	—	4	16	no	—
273	C₂×C₄	—	2	1	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	1	no	—
277	C₂×C₄	—	2	1	no	—
278	C₂×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	1	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	1	no	—
287	C₂×C₄	—	2	1	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	16	no	—
290	C₂×C₄	—	2	16	no	—
291	C₂×C₄	—	2	1	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	1	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	8	no	—
307	C₂×C₄	—	4	8	no	—
308	C₂×C₄	—	8	8	no	—
309	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
313	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
323	C₂²	—	2	4	no	—
324	C₂²	—	2	4	no	—
325	C₂²	—	2	4	no	—
326	C₂²	—	2	4	no	—
327	C₂²	—	2	4	no	—
328	C₂²	—	2	4	no	—
329	C₂²	—	4	2	no	—
330	C₂²	—	4	2	no	—
331	C₂²	—	4	2	no	—
332	C₂²	—	4	2	no	—
333	C₂²	—	4	2	no	—
334	C₂²	—	4	2	no	—
335	C₂²	—	4	2	no	—
336	C₂²	—	4	2	no	—
337	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
344	C₄	—	2	4	no	—
345	C₄	—	2	4	no	—
346	C₄	—	2	8	no	—
347	C₄	—	2	2	no	—
348	C₄	—	2	2	no	—
349	C₄	—	2	2	no	—
350	C₄	—	2	2	no	—
351	C₄	—	2	4	no	—
352	C₄	—	4	2	no	—
353	C₄	—	4	2	no	—
354	C₄	—	4	2	no	—
355	C₄	—	4	1	no	—
356	C₄	—	4	4	no	—
357	C₄	C₄×#41	1	4	yes	—
358	C₄	#520	1	4	yes	—
359	C₂	—	4	4	no	—
360	C₂	—	4	4	no	—
361	C₂	C₂×C₄×#41	1	1	yes	characteristic
362	C₂	C₂×#520	1	1	yes	characteristic
363	C₂	C₄×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#3506	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#3511	1	1	yes	characteristic
366	C₂	#3518	1	1	yes	characteristic
367	C₂	#3519	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂×#555	C₂
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2369	C₂	semidirect
3. #2367	C₂	semidirect
4. #2363	C₂	semidirect
5. #2361	C₂	semidirect
6. #2354	C₂	semidirect
7. D₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
8. #2347	C₂	semidirect
9. #2347	C₂	semidirect
10. #2337	C₂	semidirect
11. #2324	C₂	semidirect
12. C₄×C₄⋊Q₈	C₂	semidirect
13. C₄×#121	C₂	semidirect
14. #2296	C₂	semidirect
15. #2293	C₂	semidirect
16. #2274	C₂	semidirect
17. C₄²×D₄	C₂	semidirect
18. #555	C₄	semidirect
93. C₄⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
94. #124	C₂×C₄	semidirect
95. #121	C₂×C₄	semidirect
96. #121	C₂×C₄	semidirect
102. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
103. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
106. #117	C₂×C₄	semidirect
107. #117	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#555	2
#2369	2
#2367	2
#2363	2
#2361	2
#2354	2
D₄×C₄⋊C₄	2
#2347	2
#2337	2
#2324	2
C₄×C₄⋊Q₈	2
C₄×#121	2
#2296	2
#2293	2
#2274	2
C₄²×D₄	2