Subgroups — #34330

Order 256.

1386 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 383 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#550	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2366	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2366	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2364	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2363	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2357	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2355	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#2354	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#2339	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2333	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2328	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₄×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₄×#121	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2297	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	#2295	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#2275	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
17	C₄²×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
19	#550	C₄	1	16	yes	complemented
20	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
37	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#391	C₂²	1	2	yes	—
39	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#390	C₂²	1	2	yes	—
41	#390	C₂²	1	2	yes	—
42	#390	C₂²	1	2	yes	—
43	#390	C₂²	1	2	yes	—
44	#390	C₂²	1	2	yes	—
45	#390	C₂²	1	4	yes	—
46	#390	C₂²	1	2	yes	—
47	#389	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	#389	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	#388	C₂²	1	4	yes	—
50	#388	C₂²	1	4	yes	—
51	#388	C₂²	1	4	yes	—
52	#387	C₂²	1	2	yes	—
53	#387	C₂²	1	4	yes	—
54	#387	C₂²	1	2	yes	—
55	#386	C₂²	1	4	yes	—
56	#386	C₂²	1	4	yes	—
57	#386	C₂²	1	4	yes	—
58	#386	C₂²	1	4	yes	—
59	#386	C₂²	1	4	yes	—
60	#386	C₂²	1	4	yes	—
61	#386	C₂²	1	4	yes	—
62	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
63	#382	C₂²	1	2	yes	—
64	#381	C₂²	1	4	yes	—
65	#380	C₂²	1	2	yes	—
66	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
67	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
68	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
69	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
70	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
71	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
72	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
73	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
74	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
75	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
76	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
77	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
78	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
79	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
80	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
81	#376	C₂²	1	2	yes	—
82	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	—
83	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
84	C₂×#41	—	4	4	no	—
85	C₂×#41	—	4	4	no	—
86	C₂×#41	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
87	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
100	#127	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
101	#127	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
102	#121	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
103	#121	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
104	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
105	C₄×D₄	—	2	4	no	—
106	C₄×D₄	—	2	8	no	—
107	C₄×D₄	—	2	4	no	—
108	C₄×D₄	—	2	8	no	—
109	C₄×D₄	—	4	4	no	—
110	C₄×D₄	—	4	4	no	—
111	C₄×D₄	—	4	4	no	—
112	C₄×D₄	—	4	8	no	—
113	C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
114	C₄×D₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
115	#117	—	4	4	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
140	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
141	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
155	#95	C₂³	1	2	yes	—
156	#95	C₂³	1	2	yes	—
157	#95	C₂³	1	4	yes	—
158	#95	C₂³	1	4	yes	—
159	#95	C₂³	1	2	yes	—
160	#95	C₂³	1	2	yes	—
161	#95	C₂³	1	2	yes	—
162	#95	C₂³	1	2	yes	—
163	#95	C₂³	1	2	yes	—
164	#95	C₂³	1	2	yes	—
165	#95	C₂³	1	4	yes	—
166	#95	C₂³	1	2	yes	—
167	#95	C₂³	1	4	yes	—
168	#95	C₂³	1	2	yes	—
169	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
170	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
171	#41	—	4	32	no	—
172	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
173	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
174	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
175	C₂×D₄	—	2	2	no	—
176	C₂×D₄	—	2	4	no	—
177	C₂×D₄	—	2	2	no	—
178	C₂×D₄	—	2	4	no	—
179	C₂×D₄	—	2	4	no	—
180	C₂×D₄	—	2	4	no	—
181	C₂×D₄	—	4	2	no	—
182	C₂×D₄	—	4	4	no	—
183	C₂×D₄	—	4	2	no	—
184	C₂×D₄	—	4	4	no	—
185	C₂×D₄	—	4	4	no	—
186	C₂×D₄	—	4	4	no	—
187	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
188	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
189	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
190	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
191	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
192	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
226	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
234	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
235	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
236	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
237	C₄⋊C₄	#41	1	4	yes	complemented
238	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
249	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
250	C₄²	—	2	2	no	—
251	C₄²	—	2	4	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	—	2	4	no	—
254	C₄²	—	2	2	no	—
255	C₄²	—	2	2	no	—
256	C₄²	—	4	2	no	—
257	C₄²	—	4	2	no	—
258	C₄²	—	4	1	no	—
259	C₄²	—	4	4	no	—
260	C₄²	—	4	4	no	—
261	C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
262	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
263	C₄²	#41	1	4	yes	complemented
264	C₂³	—	2	2	no	—
265	C₂³	—	2	4	no	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	—	2	4	no	—
268	C₂³	—	2	4	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	2	4	no	—
272	C₂³	—	2	4	no	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	2	4	no	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
277	C₂³	C₂³×C₄	1	8	yes	—
278	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
279	Q₈	—	2	8	no	—
280	D₄	—	2	8	no	—
281	D₄	—	2	16	no	—
282	D₄	—	2	16	no	—
283	D₄	—	4	8	no	—
284	D₄	—	4	16	no	—
285	D₄	—	4	16	no	—
286	C₂×C₄	—	2	1	no	—
287	C₂×C₄	—	2	1	no	—
288	C₂×C₄	—	2	1	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	1	no	—
291	C₂×C₄	—	2	1	no	—
292	C₂×C₄	—	2	1	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	1	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	16	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	1	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	16	no	—
319	C₂×C₄	—	4	8	no	—
320	C₂×C₄	—	4	8	no	—
321	C₂×C₄	—	8	8	no	—
322	C₂×C₄	—	8	8	no	—
323	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
326	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
327	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
337	C₂²	—	2	4	no	—
338	C₂²	—	2	8	no	—
339	C₂²	—	2	4	no	—
340	C₂²	—	2	8	no	—
341	C₂²	—	2	8	no	—
342	C₂²	—	2	4	no	—
343	C₂²	—	4	2	no	—
344	C₂²	—	4	4	no	—
345	C₂²	—	4	4	no	—
346	C₂²	—	4	2	no	—
347	C₂²	—	4	2	no	—
348	C₂²	—	4	4	no	—
349	C₂²	—	4	2	no	—
350	C₂²	—	4	4	no	—
351	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
358	C₄	—	2	4	no	—
359	C₄	—	2	4	no	—
360	C₄	—	2	2	no	—
361	C₄	—	2	4	no	—
362	C₄	—	2	2	no	—
363	C₄	—	2	2	no	—
364	C₄	—	2	2	no	—
365	C₄	—	2	4	no	—
366	C₄	—	4	2	no	—
367	C₄	—	4	4	no	—
368	C₄	—	4	1	no	—
369	C₄	—	4	2	no	—
370	C₄	—	4	2	no	—
371	C₄	C₄×#41	1	4	yes	—
372	C₄	#518	1	4	yes	—
373	C₂	—	4	4	no	—
374	C₂	—	4	8	no	—
375	C₂	C₂×C₄×#41	1	1	yes	characteristic
376	C₂	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
377	C₂	C₄×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#3506	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#3508	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#3517	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#3519	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂×#550	C₂
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2366	C₂	semidirect
3. #2366	C₂	semidirect
4. #2364	C₂	semidirect
5. #2363	C₂	semidirect
6. #2357	C₂	semidirect
7. #2355	C₂	semidirect
8. #2354	C₂	semidirect
9. #2339	C₂	semidirect
10. #2333	C₂	semidirect
11. #2328	C₂	semidirect
12. C₄×#127	C₂	semidirect
13. C₄×#121	C₂	semidirect
14. #2297	C₂	semidirect
15. #2295	C₂	semidirect
16. #2275	C₂	semidirect
17. C₄²×D₄	C₂	semidirect
19. #550	C₄	semidirect
86. C₂×#41	C₂×C₄	semidirect
100. #127	C₂×C₄	semidirect
101. #127	C₂×C₄	semidirect
102. #121	C₂×C₄	semidirect
103. #121	C₂×C₄	semidirect
104. C₄×Q₈	C₂×C₄	semidirect
113. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
114. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
237. C₄⋊C₄	#41	semidirect
263. C₄²	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#550	2
#2366	2
#2364	2
#2363	2
#2357	2
#2355	2
#2354	2
#2339	2
#2333	2
#2328	2
C₄×#127	2
C₄×#121	2
#2297	2
#2295	2
#2275	2
C₄²×D₄	2