Subgroups — #34337

Order 256.

1062 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 193 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#557	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2370	C₂	1	6	yes	maximal
3	#2365	C₂	1	3	yes	maximal
4	Q₈×C₄⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal
5	Q₈×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	Q₈×C₄⋊C₄	C₂	1	3	yes	maximal
7	#2330	C₂	1	6	yes	maximal
8	C₄×C₄⋊Q₈	C₂	1	3	yes	maximal
9	#2295	C₂	1	3	yes	maximal
10	#2276	C₂	1	2	yes	maximal
11	C₄²×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	#557	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	3	yes	—
14	C₂×#125	C₂²	1	6	yes	—
15	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	6	yes	—
18	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	3	yes	—
21	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#391	C₂²	1	3	yes	—
23	#391	C₂²	1	3	yes	—
24	#389	C₂²	1	6	yes	—
25	#389	C₂²	1	6	yes	—
26	#389	C₂²	1	6	yes	—
27	#389	C₂²	1	12	yes	—
28	#389	C₂²	1	6	yes	—
29	#389	C₂²	1	3	yes	—
30	#389	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#387	C₂²	1	6	yes	—
32	#387	C₂²	1	12	yes	—
33	#387	C₂²	1	6	yes	—
34	#384	C₂²	1	3	yes	—
35	#384	C₂²	1	6	yes	—
36	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
37	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
38	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
39	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
40	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
41	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
42	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
43	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
44	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
45	#376	C₂²	1	6	yes	—
46	C₄³	C₂²	1	3	yes	—
47	C₂²×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
48	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	24	yes	—
50	#125	C₂×C₄	1	48	yes	—
51	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
52	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
53	C₄×Q₈	—	4	12	no	—
54	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
55	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	24	yes	—
56	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
57	C₄×Q₈	Q₈	1	8	yes	complemented
58	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
59	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
61	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
66	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
68	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
70	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
72	C₂×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
73	C₂×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
74	C₂×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
75	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
77	C₂×C₄²	C₂³	1	12	yes	—
78	C₂×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
79	C₂×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
80	C₂×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
81	C₂×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
82	#95	C₂³	1	2	yes	—
83	#95	C₂³	1	6	yes	—
84	#95	C₂³	1	6	yes	—
85	#95	C₂³	1	6	yes	—
86	#95	C₂³	1	6	yes	—
87	#95	C₂³	1	6	yes	—
88	#95	C₂³	1	6	yes	—
89	#95	C₂³	1	6	yes	—
90	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
91	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
92	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
93	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
94	C₂×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
95	C₂×Q₈	#41	1	4	yes	—
96	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
97	C₂²×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
98	C₂²×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
99	C₂²×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
100	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
101	C₂²×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
102	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
104	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
106	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
107	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
108	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
109	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
110	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
111	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
112	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
113	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
114	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
115	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
116	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
117	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
118	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
119	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
120	C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	12	yes	—
121	C₄²	—	2	6	no	—
122	C₄²	—	2	12	no	—
123	C₄²	—	2	6	no	—
124	C₄²	—	2	6	no	—
125	C₄²	—	2	2	no	—
126	C₄²	—	4	3	no	—
127	C₄²	—	4	12	no	—
128	C₄²	C₂²×C₄	1	24	yes	—
129	C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
130	C₄²	C₂×Q₈	1	12	yes	—
131	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
132	Q₈	—	2	24	no	—
133	Q₈	C₄×Q₈	1	16	yes	complemented
134	C₂×C₄	—	2	1	no	—
135	C₂×C₄	—	2	3	no	—
136	C₂×C₄	—	2	6	no	—
137	C₂×C₄	—	2	3	no	—
138	C₂×C₄	—	2	1	no	—
139	C₂×C₄	—	2	3	no	—
140	C₂×C₄	—	2	1	no	—
141	C₂×C₄	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄	—	2	6	no	—
143	C₂×C₄	—	2	1	no	—
144	C₂×C₄	—	2	3	no	—
145	C₂×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄	—	2	3	no	—
148	C₂×C₄	—	2	6	no	—
149	C₂×C₄	—	2	3	no	—
150	C₂×C₄	—	2	6	no	—
151	C₂×C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄	—	2	3	no	—
154	C₂×C₄	—	2	6	no	—
155	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
156	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
157	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	12	yes	—
158	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
159	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
161	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
162	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
163	C₂×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
164	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
165	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
166	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
167	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂²	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
169	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
170	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
171	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
172	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
173	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
174	C₄	—	2	12	no	—
175	C₄	—	2	6	no	—
176	C₄	—	2	4	no	—
177	C₄	—	2	2	no	—
178	C₄	—	2	6	no	—
179	C₄	—	2	2	no	—
180	C₄	—	4	3	no	—
181	C₄	—	4	6	no	—
182	C₄	—	4	2	no	—
183	C₄	C₂×C₄×Q₈	1	12	yes	—
184	C₄	#520	1	4	yes	—
185	C₂	C₂²×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
186	C₂	C₂×#520	1	1	yes	characteristic
187	C₂	C₄×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
188	C₂	#3502	1	1	yes	characteristic
189	C₂	#3503	1	1	yes	characteristic
190	C₂	#3517	1	1	yes	characteristic
191	C₂	#3523	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, prime radical, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
12. #557	C₄	semidirect
57. C₄×Q₈	Q₈	semidirect
133. Q₈	C₄×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#557	2
#2370	2
#2365	2
Q₈×C₄⋊C₄	2
#2330	2
C₄×C₄⋊Q₈	2
#2295	2
#2276	2
C₄²×Q₈	2