Subgroups — C₂×#2376 #34339

Order 256.

1435 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 254 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#123	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2376	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
3	C₂×#390	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#389	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#388	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#388	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×#387	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#386	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂×#385	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂×#380	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#123	C₄	1	16	yes	complemented
15	C₂×#123	C₂²	1	8	yes	—
16	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
29	#390	C₂²	1	8	yes	—
30	#389	C₂²	1	16	yes	complemented
31	#388	C₂²	1	16	yes	complemented
32	#388	C₂²	1	16	yes	complemented
33	#387	C₂²	1	16	yes	complemented
34	#386	C₂²	1	8	yes	—
35	#385	C₂²	1	16	yes	complemented
36	#380	C₂²	1	16	yes	complemented
37	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
45	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
46	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
49	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
50	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
51	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
52	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
53	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
62	#123	C₂×C₄	1	64	yes	complemented
63	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
64	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
65	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
66	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
67	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
68	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
70	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
73	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
74	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
78	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
79	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
80	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
81	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
82	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
86	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
87	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
89	#95	C₂³	1	8	yes	—
90	#95	C₂³	1	8	yes	—
91	#95	C₂³	1	8	yes	—
92	#95	C₂³	1	8	yes	—
93	#95	C₂³	1	8	yes	—
94	C₂⁴	—	2	4	no	—
95	C₂⁴	—	2	4	no	—
96	C₂⁴	—	2	2	no	—
97	C₂⁴	—	2	2	no	—
98	C₂⁴	—	2	2	no	—
99	C₂⁴	—	2	2	no	—
100	C₂⁴	—	2	4	no	—
101	C₂⁴	—	2	4	no	—
102	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
103	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
104	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
105	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
106	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
107	C₂×D₄	—	4	16	no	—
108	C₂×D₄	—	4	4	no	—
109	C₂×D₄	—	4	4	no	—
110	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
111	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
114	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
115	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
117	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
118	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
119	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
120	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
121	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
122	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
129	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
130	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
131	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
132	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
133	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
134	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
135	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
136	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
137	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
138	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
139	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
140	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
141	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
142	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
143	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
144	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
145	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
146	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
147	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
148	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
149	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
150	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	complemented
151	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
152	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
153	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
154	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
155	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
156	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
157	C₄²	—	4	8	no	—
158	C₄²	—	4	4	no	—
159	C₂³	—	2	8	no	—
160	C₂³	—	2	8	no	—
161	C₂³	—	2	16	no	—
162	C₂³	—	2	16	no	—
163	C₂³	—	2	4	no	—
164	C₂³	—	2	4	no	—
165	C₂³	—	2	2	no	—
166	C₂³	—	2	2	no	—
167	C₂³	—	2	2	no	—
168	C₂³	—	2	2	no	—
169	C₂³	—	2	4	no	—
170	C₂³	—	2	4	no	—
171	C₂³	—	4	4	no	—
172	C₂³	—	4	4	no	—
173	C₂³	—	4	8	no	—
174	C₂³	—	4	8	no	—
175	C₂³	—	4	4	no	—
176	C₂³	—	4	4	no	—
177	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
178	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
179	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
180	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
181	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
182	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
183	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
184	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
185	D₄	—	4	16	no	—
186	C₂×C₄	—	2	16	no	—
187	C₂×C₄	—	2	8	no	—
188	C₂×C₄	—	2	16	no	—
189	C₂×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂×C₄	—	4	16	no	—
208	C₂×C₄	—	4	16	no	—
209	C₂×C₄	—	4	8	no	—
210	C₂×C₄	—	4	8	no	—
211	C₂×C₄	—	4	8	no	—
212	C₂×C₄	—	4	8	no	—
213	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
214	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
215	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
216	C₂²	—	2	4	no	—
217	C₂²	—	2	4	no	—
218	C₂²	—	2	8	no	—
219	C₂²	—	2	8	no	—
220	C₂²	—	4	16	no	—
221	C₂²	—	4	16	no	—
222	C₂²	—	4	2	no	—
223	C₂²	—	4	2	no	—
224	C₂²	—	4	4	no	—
225	C₂²	—	4	4	no	—
226	C₂²	—	4	2	no	—
227	C₂²	—	4	2	no	—
228	C₂²	#518	1	4	yes	—
229	C₂²	#520	1	8	yes	—
230	C₂²	#560	1	4	yes	—
231	C₂²	#562	1	8	yes	—
232	C₂²	#563	1	4	yes	—
233	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
235	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
236	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
237	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
238	C₄	—	2	8	no	—
239	C₄	—	2	4	no	—
240	C₄	—	2	8	no	—
241	C₄	—	4	4	no	—
242	C₄	—	4	4	no	—
243	C₄	—	4	4	no	—
244	C₄	—	4	4	no	—
245	C₂	—	4	4	no	—
246	C₂	—	4	4	no	—
247	C₂	#2376	1	8	yes	direct product factor
248	C₂	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
249	C₂	C₂×#520	1	2	yes	—
250	C₂	C₂×#560	1	1	yes	characteristic
251	C₂	C₂×#562	1	2	yes	—
252	C₂	C₂×#563	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂³×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2376	C₂	direct (N × H)
4. C₂×#389	C₂	semidirect
5. C₂×#388	C₂	semidirect
6. C₂×#388	C₂	semidirect
7. C₂×#387	C₂	semidirect
9. C₂×#385	C₂	semidirect
10. C₂×#380	C₂	semidirect
14. C₂×#123	C₄	semidirect
30. #389	C₂²	semidirect
31. #388	C₂²	semidirect
32. #388	C₂²	semidirect
33. #387	C₂²	semidirect
35. #385	C₂²	semidirect
36. #380	C₂²	semidirect
52. C₂³×C₄	C₂×C₄	semidirect
62. #123	C₂×C₄	semidirect
67. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
78. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
138. C₂²×C₄	C₂²×C₄	semidirect
150. C₄⋊C₄	C₂²×C₄	semidirect
156. C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	semidirect
247. C₂	#2376	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#123	2
#2376	2
C₂×#390	2
C₂×#389	2
C₂×#388	2
C₂×#387	2
C₂×#386	2
C₂×#385	2
C₂×#380	2

Subgroups — C2×#2376 #34339

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#2376 #34339