Subgroups — #34356

Order 256.

2067 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 281 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#120	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2375	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#2358	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#2342	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	D₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2321	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#2312	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2309	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#2308	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#379	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₂⁶	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#120	C₄	1	16	yes	complemented
15	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	8	yes	complemented
19	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
20	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
24	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
26	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
27	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
28	#390	C₂²	1	8	yes	complemented
29	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
30	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
31	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
32	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
33	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
34	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
35	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
36	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#385	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#381	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#379	C₂²	1	2	yes	—
41	#379	C₂²	1	2	yes	—
42	#379	C₂²	1	4	yes	—
43	#379	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#379	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#379	C₂²	1	2	yes	complemented
46	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
47	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
48	C₂⁵	—	4	4	no	—
49	C₂⁵	—	4	8	no	—
50	C₂⁵	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
51	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
58	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
59	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
60	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
61	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂³×C₄	C₂³	1	8	yes	—
67	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	complemented
69	#120	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
70	#120	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
71	#120	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
72	C₄×D₄	—	4	16	no	—
73	#117	—	4	4	no	—
74	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	complemented
75	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	complemented
76	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
80	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
81	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
82	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
86	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	complemented
96	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	complemented
97	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	complemented
98	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	complemented
99	#95	C₂³	1	8	yes	complemented
100	#95	C₂³	1	8	yes	complemented
101	#95	C₂³	1	8	yes	complemented
102	C₂⁴	—	2	8	no	—
103	C₂⁴	—	2	8	no	—
104	C₂⁴	—	2	8	no	—
105	C₂⁴	—	2	8	no	—
106	C₂⁴	—	2	4	no	—
107	C₂⁴	—	2	4	no	—
108	C₂⁴	—	4	32	no	—
109	C₂⁴	—	4	16	no	—
110	C₂⁴	—	4	2	no	—
111	C₂⁴	—	4	4	no	—
112	C₂⁴	—	4	4	no	—
113	C₂⁴	—	4	4	no	—
114	C₂⁴	—	4	4	no	—
115	C₂⁴	—	4	2	no	—
116	C₂⁴	—	4	4	no	—
117	C₂⁴	—	4	4	no	—
118	C₂⁴	—	4	64	no	—
119	C₂⁴	C₂²×C₄	1	8	yes	—
120	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
121	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
122	C₂⁴	C₂²×C₄	1	8	yes	—
123	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
124	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
125	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
126	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
127	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
128	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
129	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
130	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
131	C₂×D₄	—	2	16	no	—
132	C₂×D₄	—	4	16	no	—
133	C₂×D₄	—	4	2	no	—
134	C₂×D₄	—	4	2	no	—
135	C₂×D₄	—	4	8	no	—
136	C₂×D₄	—	4	2	no	—
137	C₂×D₄	—	4	2	no	—
138	C₂×D₄	—	4	32	no	—
139	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
140	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
141	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
142	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
143	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
145	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
146	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
147	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
148	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
149	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
150	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
151	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
152	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
153	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
154	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
155	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
156	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
157	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
158	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
159	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
160	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
161	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
162	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
163	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
164	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
165	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
166	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
167	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
168	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
169	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
170	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
171	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
172	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
173	C₄²	—	4	4	no	—
174	C₄²	—	4	8	no	—
175	C₂³	—	2	4	no	—
176	C₂³	—	2	4	no	—
177	C₂³	—	2	4	no	—
178	C₂³	—	2	16	no	—
179	C₂³	—	2	8	no	—
180	C₂³	—	2	16	no	—
181	C₂³	—	2	16	no	—
182	C₂³	—	2	16	no	—
183	C₂³	—	2	2	no	—
184	C₂³	—	2	4	no	—
185	C₂³	—	2	4	no	—
186	C₂³	—	2	4	no	—
187	C₂³	—	2	4	no	—
188	C₂³	—	2	8	no	—
189	C₂³	—	2	2	no	—
190	C₂³	—	2	2	no	—
191	C₂³	—	2	4	no	—
192	C₂³	—	2	2	no	—
193	C₂³	—	2	8	no	—
194	C₂³	—	4	8	no	—
195	C₂³	—	4	8	no	—
196	C₂³	—	4	4	no	—
197	C₂³	—	4	8	no	—
198	C₂³	—	4	8	no	—
199	C₂³	—	4	4	no	—
200	C₂³	—	4	8	no	—
201	C₂³	—	4	8	no	—
202	C₂³	—	4	16	no	—
203	C₂³	—	4	32	no	—
204	C₂³	—	4	32	no	—
205	C₂³	—	4	16	no	—
206	C₂³	—	4	128	no	—
207	C₂³	—	4	16	no	—
208	C₂³	—	8	8	no	—
209	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
210	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
211	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
212	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
213	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
214	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
215	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
216	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
217	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
218	D₄	—	2	32	no	—
219	D₄	—	4	8	no	—
220	D₄	—	4	8	no	—
221	D₄	—	4	16	no	—
222	C₂×C₄	—	2	8	no	—
223	C₂×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂×C₄	—	2	8	no	—
225	C₂×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂×C₄	—	2	8	no	—
227	C₂×C₄	—	2	8	no	—
228	C₂×C₄	—	2	8	no	—
229	C₂×C₄	—	2	8	no	—
230	C₂×C₄	—	2	8	no	—
231	C₂×C₄	—	2	8	no	—
232	C₂×C₄	—	4	8	no	—
233	C₂×C₄	—	8	16	no	—
234	C₂×C₄	—	8	8	no	—
235	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
236	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
237	C₂²	—	2	4	no	—
238	C₂²	—	2	4	no	—
239	C₂²	—	2	4	no	—
240	C₂²	—	2	16	no	—
241	C₂²	—	2	8	no	—
242	C₂²	—	2	8	no	—
243	C₂²	—	2	2	no	—
244	C₂²	—	2	4	no	—
245	C₂²	—	2	2	no	—
246	C₂²	—	2	4	no	—
247	C₂²	—	2	4	no	—
248	C₂²	—	2	4	no	—
249	C₂²	—	2	4	no	—
250	C₂²	—	2	4	no	—
251	C₂²	—	4	32	no	—
252	C₂²	—	4	16	no	—
253	C₂²	—	4	16	no	—
254	C₂²	—	4	32	no	—
255	C₂²	—	4	16	no	—
256	C₂²	—	4	4	no	—
257	C₂²	—	4	4	no	—
258	C₂²	—	4	8	no	—
259	C₂²	—	4	4	no	—
260	C₂²	—	4	4	no	—
261	C₂²	—	8	8	no	—
262	C₂²	#518	1	4	yes	—
263	C₂²	#518	1	8	yes	—
264	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
266	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
267	C₄	—	2	4	no	—
268	C₄	—	2	8	no	—
269	C₄	—	4	8	no	—
270	C₄	—	4	8	no	—
271	C₂	—	2	4	no	—
272	C₂	—	2	8	no	—
273	C₂	—	4	4	no	—
274	C₂	—	4	2	no	—
275	C₂	—	4	2	no	—
276	C₂	—	4	4	no	—
277	C₂	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
278	C₂	C₂×#518	1	2	yes	—
279	C₂	#3532	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂²×#120	C₂
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2375	C₂	semidirect
3. #2358	C₂	semidirect
4. #2342	C₂	semidirect
5. D₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
6. #2321	C₂	semidirect
7. #2312	C₂	semidirect
8. #2309	C₂	semidirect
9. #2308	C₂	semidirect
10. C₂×#379	C₂	semidirect
14. C₂×#120	C₄	semidirect
18. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
19. C₂×#117	C₂²	semidirect
23. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
24. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
25. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
26. #390	C₂²	semidirect
27. #390	C₂²	semidirect
28. #390	C₂²	semidirect
29. #388	C₂²	semidirect
30. #388	C₂²	semidirect
31. #388	C₂²	semidirect
32. #388	C₂²	semidirect
33. #386	C₂²	semidirect
34. #386	C₂²	semidirect
35. #386	C₂²	semidirect
36. #386	C₂²	semidirect
37. #385	C₂²	semidirect
38. #381	C₂²	semidirect
39. #380	C₂²	semidirect
43. #379	C₂²	semidirect
44. #379	C₂²	semidirect
45. #379	C₂²	semidirect
46. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
47. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
50. C₂⁵	C₂×C₄	semidirect
59. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
60. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
68. C₂³×C₄	C₂³	semidirect
69. #120	C₂×C₄	semidirect
70. #120	C₂×C₄	semidirect
71. #120	C₂×C₄	semidirect
74. C₂×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
75. C₂×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
80. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
81. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
95. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
96. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
97. C₂×C₄²	C₂³	semidirect
98. C₂×C₄²	C₂³	semidirect
99. #95	C₂³	semidirect
100. #95	C₂³	semidirect
101. #95	C₂³	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#120	2
#2375	2
#2358	2
#2342	2
D₄×C₂²⋊C₄	2
#2321	2
#2312	2
#2309	2
#2308	2
C₂×#379	2