Subgroups — #34357

Order 256.

1251 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 231 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#123	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2376	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#2374	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#2344	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2342	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2335	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#2312	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2309	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#2308	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#2280	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#123	C₄	1	16	yes	complemented
14	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#390	C₂²	1	4	yes	—
24	#390	C₂²	1	4	yes	—
25	#389	C₂²	1	8	yes	complemented
26	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
27	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
28	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
29	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
30	#387	C₂²	1	8	yes	complemented
31	#387	C₂²	1	8	yes	complemented
32	#386	C₂²	1	4	yes	—
33	#386	C₂²	1	4	yes	—
34	#385	C₂²	1	8	yes	complemented
35	#381	C₂²	1	2	yes	—
36	#381	C₂²	1	4	yes	—
37	#380	C₂²	1	4	yes	—
38	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#379	C₂²	1	2	yes	—
41	#379	C₂²	1	2	yes	—
42	#379	C₂²	1	2	yes	—
43	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
44	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
45	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
46	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
47	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
48	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
51	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
52	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
55	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
56	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#123	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
64	#123	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
65	#123	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
66	#117	—	4	8	no	—
67	#117	—	4	4	no	—
68	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
69	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
70	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
76	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
77	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
90	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
92	#95	C₂³	1	8	yes	—
93	#95	C₂³	1	8	yes	—
94	#95	C₂³	1	8	yes	—
95	#95	C₂³	1	8	yes	—
96	#95	C₂³	1	8	yes	—
97	C₂⁴	—	2	4	no	—
98	C₂⁴	—	2	4	no	—
99	C₂⁴	—	4	4	no	—
100	C₂⁴	—	4	4	no	—
101	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
102	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
103	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
104	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
105	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
106	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
107	C₂×D₄	—	4	16	no	—
108	C₂×D₄	—	4	2	no	—
109	C₂×D₄	—	4	2	no	—
110	C₂×D₄	—	4	2	no	—
111	C₂×D₄	—	4	2	no	—
112	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
113	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
114	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
115	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
116	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
117	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
118	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
119	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
120	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
121	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
122	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
123	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
124	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
125	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
126	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
127	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
128	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
129	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
130	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
131	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
132	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
133	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
134	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
135	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
136	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
137	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
138	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
139	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
140	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
141	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
142	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
143	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
144	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
145	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
146	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
147	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
148	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
149	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
150	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
151	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
152	C₄²	—	4	8	no	—
153	C₄²	—	4	8	no	—
154	C₄²	—	4	4	no	—
155	C₂³	—	2	4	no	—
156	C₂³	—	2	8	no	—
157	C₂³	—	2	2	no	—
158	C₂³	—	2	2	no	—
159	C₂³	—	2	2	no	—
160	C₂³	—	2	2	no	—
161	C₂³	—	2	4	no	—
162	C₂³	—	2	4	no	—
163	C₂³	—	2	8	no	—
164	C₂³	—	2	8	no	—
165	C₂³	—	4	8	no	—
166	C₂³	—	4	8	no	—
167	C₂³	—	4	16	no	—
168	C₂³	—	8	8	no	—
169	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
170	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
171	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
172	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
173	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
174	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
175	D₄	—	4	8	no	—
176	D₄	—	4	8	no	—
177	C₂×C₄	—	2	16	no	—
178	C₂×C₄	—	2	8	no	—
179	C₂×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄	—	2	8	no	—
184	C₂×C₄	—	2	8	no	—
185	C₂×C₄	—	2	8	no	—
186	C₂×C₄	—	2	8	no	—
187	C₂×C₄	—	2	8	no	—
188	C₂×C₄	—	2	8	no	—
189	C₂×C₄	—	2	8	no	—
190	C₂×C₄	—	4	4	no	—
191	C₂×C₄	—	4	8	no	—
192	C₂×C₄	—	4	4	no	—
193	C₂×C₄	—	4	8	no	—
194	C₂×C₄	—	8	8	no	—
195	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
196	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
197	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
198	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
199	C₂²	—	2	4	no	—
200	C₂²	—	2	8	no	—
201	C₂²	—	2	2	no	—
202	C₂²	—	2	2	no	—
203	C₂²	—	2	4	no	—
204	C₂²	—	2	4	no	—
205	C₂²	—	2	4	no	—
206	C₂²	—	2	8	no	—
207	C₂²	—	4	16	no	—
208	C₂²	—	4	4	no	—
209	C₂²	—	4	4	no	—
210	C₂²	—	4	4	no	—
211	C₂²	—	4	4	no	—
212	C₂²	—	8	8	no	—
213	C₂²	#518	1	4	yes	—
214	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
216	C₂²	#585	1	4	yes	—
217	C₄	—	2	4	no	—
218	C₄	—	2	4	no	—
219	C₄	—	2	4	no	—
220	C₄	—	2	8	no	—
221	C₄	—	4	8	no	—
222	C₄	—	4	8	no	—
223	C₂	—	2	4	no	—
224	C₂	—	4	2	no	—
225	C₂	—	4	2	no	—
226	C₂	—	4	4	no	—
227	C₂	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
228	C₂	#3428	1	2	yes	—
229	C₂	#3533	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂³×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2376	C₂	semidirect
3. #2374	C₂	semidirect
4. #2344	C₂	semidirect
5. #2342	C₂	semidirect
6. #2335	C₂	semidirect
7. #2312	C₂	semidirect
10. #2280	C₂	semidirect
13. C₂×#123	C₄	semidirect
25. #389	C₂²	semidirect
26. #388	C₂²	semidirect
27. #388	C₂²	semidirect
28. #388	C₂²	semidirect
29. #388	C₂²	semidirect
30. #387	C₂²	semidirect
31. #387	C₂²	semidirect
34. #385	C₂²	semidirect
38. #380	C₂²	semidirect
39. #380	C₂²	semidirect
43. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
45. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
46. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
47. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
55. C₂³×C₄	C₂×C₄	semidirect
63. #123	C₂×C₄	semidirect
64. #123	C₂×C₄	semidirect
65. #123	C₂×C₄	semidirect
68. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
76. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#123	2
#2376	2
#2374	2
#2344	2
#2342	2
#2335	2
#2312	2
#2309	2
#2308	2
#2280	2