Subgroups — #34366

Order 256.

1243 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 172 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2379	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#2372	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#2342	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#2337	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#2310	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2308	C₂	1	2	yes	maximal
8	#2283	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#124	C₄	1	16	yes	complemented
12	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#391	C₂²	1	8	yes	complemented
20	#391	C₂²	1	8	yes	complemented
21	#388	C₂²	1	16	yes	complemented
22	#388	C₂²	1	16	yes	complemented
23	#386	C₂²	1	8	yes	—
24	#386	C₂²	1	8	yes	—
25	#385	C₂²	1	16	yes	complemented
26	#383	C₂²	1	4	yes	complemented
27	#382	C₂²	1	4	yes	complemented
28	#381	C₂²	1	4	yes	—
29	#381	C₂²	1	4	yes	—
30	#380	C₂²	1	4	yes	—
31	#379	C₂²	1	4	yes	—
32	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
33	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
34	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	16	yes	complemented
35	#376	C₂²	1	4	yes	complemented
36	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
38	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
39	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
42	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
43	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₄	C₂³	1	8	yes	—
48	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
49	#124	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
50	#124	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
51	#124	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
52	#117	—	4	8	no	—
53	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
54	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
55	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
56	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
57	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
58	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
59	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
60	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
61	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
62	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
63	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
64	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
65	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	#95	C₂³	1	8	yes	—
69	#95	C₂³	1	8	yes	—
70	#95	C₂³	1	8	yes	—
71	#95	C₂³	1	16	yes	—
72	#95	C₂³	1	8	yes	—
73	C₂⁴	—	2	8	no	—
74	C₂⁴	—	4	8	no	—
75	C₂⁴	C₂²×C₄	1	8	yes	—
76	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
77	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
78	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
79	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
80	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
81	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
82	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
83	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
84	C₂×D₄	—	4	16	no	—
85	C₂×D₄	—	4	2	no	—
86	C₂×D₄	—	4	4	no	—
87	C₂×D₄	—	4	2	no	—
88	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
89	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
90	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
91	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
92	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
93	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
94	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
95	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
96	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
97	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
98	C₂²×C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
99	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
102	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
103	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
104	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
105	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
106	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
107	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
108	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
109	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
110	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
111	C₄²	—	4	8	no	—
112	C₄²	—	4	8	no	—
113	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
114	C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
115	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
116	C₂³	—	2	4	no	—
117	C₂³	—	2	4	no	—
118	C₂³	—	2	4	no	—
119	C₂³	—	2	16	no	—
120	C₂³	—	2	16	no	—
121	C₂³	—	4	16	no	—
122	C₂³	—	8	16	no	—
123	C₂³	C₂³×C₄	1	8	yes	—
124	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
125	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
126	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
127	Q₈	—	4	8	no	—
128	Q₈	—	4	8	no	—
129	D₄	—	4	8	no	—
130	D₄	—	4	8	no	—
131	C₂×C₄	—	2	8	no	—
132	C₂×C₄	—	2	16	no	—
133	C₂×C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄	—	2	16	no	—
140	C₂×C₄	—	2	16	no	—
141	C₂×C₄	—	2	16	no	—
142	C₂×C₄	—	4	8	no	—
143	C₂×C₄	—	8	16	no	—
144	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
145	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
146	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
149	C₂²	—	2	4	no	—
150	C₂²	—	2	8	no	—
151	C₂²	—	2	8	no	—
152	C₂²	—	2	16	no	—
153	C₂²	—	4	8	no	—
154	C₂²	—	4	8	no	—
155	C₂²	—	8	16	no	—
156	C₂²	#518	1	4	yes	—
157	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
159	C₂²	#585	1	4	yes	—
160	C₄	—	2	2	no	—
161	C₄	—	2	2	no	—
162	C₄	—	2	8	no	—
163	C₄	—	2	4	no	—
164	C₄	—	2	4	no	—
165	C₄	—	4	16	no	—
166	C₂	—	2	4	no	—
167	C₂	—	4	8	no	—
168	C₂	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
169	C₂	#3428	1	2	yes	—
170	C₂	#3545	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂³×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2379	C₂	semidirect
3. #2372	C₂	semidirect
4. #2342	C₂	semidirect
5. #2337	C₂	semidirect
6. #2310	C₂	semidirect
8. #2283	C₂	semidirect
11. C₂×#124	C₄	semidirect
19. #391	C₂²	semidirect
20. #391	C₂²	semidirect
21. #388	C₂²	semidirect
22. #388	C₂²	semidirect
25. #385	C₂²	semidirect
26. #383	C₂²	semidirect
27. #382	C₂²	semidirect
32. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
34. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
35. #376	C₂²	semidirect
38. C₂²×Q₈	C₂×C₄	semidirect
49. #124	C₂×C₄	semidirect
50. #124	C₂×C₄	semidirect
51. #124	C₂×C₄	semidirect
56. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
62. C₂×C₄²	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#124	2
#2379	2
#2372	2
#2342	2
#2337	2
#2310	2
#2308	2
#2283	2