Subgroups — #34371

Order 256.

1119 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 179 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2381	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#2365	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#2345	C₂	1	4	yes	maximal
5	Q₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	4	yes	maximal
6	#2331	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2327	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2313	C₂	1	4	yes	maximal
9	#2283	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#2283	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₂³×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄⋊Q₈	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	8	yes	—
18	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#391	C₂²	1	8	yes	—
22	#391	C₂²	1	16	yes	—
23	#389	C₂²	1	8	yes	—
24	#387	C₂²	1	16	yes	—
25	#387	C₂²	1	16	yes	—
26	#387	C₂²	1	16	yes	—
27	#383	C₂²	1	2	yes	—
28	#383	C₂²	1	2	yes	—
29	#382	C₂²	1	2	yes	—
30	#382	C₂²	1	2	yes	—
31	#381	C₂²	1	2	yes	—
32	#381	C₂²	1	2	yes	—
33	#380	C₂²	1	8	yes	—
34	#380	C₂²	1	2	yes	—
35	#380	C₂²	1	2	yes	—
36	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
37	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
38	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
39	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
40	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
41	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
42	#376	C₂²	1	2	yes	—
43	#376	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
45	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
46	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
52	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
53	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
54	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
55	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
56	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
57	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
58	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
59	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
62	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
69	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂×C₄²	C₂³	1	16	yes	—
72	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	#95	C₂³	1	4	yes	—
77	#95	C₂³	1	4	yes	—
78	#95	C₂³	1	4	yes	—
79	#95	C₂³	1	4	yes	—
80	#95	C₂³	1	4	yes	—
81	#95	C₂³	1	4	yes	—
82	#95	C₂³	1	16	yes	—
83	#95	C₂³	1	16	yes	—
84	#95	C₂³	1	4	yes	—
85	#95	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
87	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
88	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
89	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
90	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
91	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
92	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
93	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
94	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
96	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
97	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
98	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
99	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
100	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
101	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
102	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
107	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
109	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
110	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
111	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
112	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
113	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
114	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
115	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
116	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
117	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
118	C₄²	—	2	8	no	—
119	C₄²	—	2	8	no	—
120	C₄²	—	4	16	no	—
121	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
122	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
123	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
124	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
125	C₂³	—	2	2	no	—
126	C₂³	—	2	2	no	—
127	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
128	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
129	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
130	Q₈	—	2	32	no	—
131	Q₈	—	4	16	no	—
132	C₂×C₄	—	2	8	no	—
133	C₂×C₄	—	2	16	no	—
134	C₂×C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄	—	2	8	no	—
139	C₂×C₄	—	2	8	no	—
140	C₂×C₄	—	2	8	no	—
141	C₂×C₄	—	2	8	no	—
142	C₂×C₄	—	2	8	no	—
143	C₂×C₄	—	2	8	no	—
144	C₂×C₄	—	2	8	no	—
145	C₂×C₄	—	2	8	no	—
146	C₂×C₄	—	4	16	no	—
147	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	16	yes	—
152	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
155	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
156	C₂²	—	2	2	no	—
157	C₂²	—	2	2	no	—
158	C₂²	—	2	8	no	—
159	C₂²	#519	1	4	yes	—
160	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
162	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
163	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
164	C₄	—	2	2	no	—
165	C₄	—	2	16	no	—
166	C₄	—	2	2	no	—
167	C₄	—	2	2	no	—
168	C₄	—	2	2	no	—
169	C₄	—	4	8	no	—
170	C₄	—	4	8	no	—
171	C₄	#518	1	4	yes	—
172	C₄	#519	1	4	yes	—
173	C₂	—	2	4	no	—
174	C₂	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
175	C₂	C₂×#519	1	1	yes	characteristic
176	C₂	C₂×#519	1	1	yes	characteristic
177	C₂	#3552	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂⁴	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2381	C₂	semidirect
3. #2365	C₂	semidirect
6. #2331	C₂	semidirect
7. #2327	C₂	semidirect
12. C₂×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄⋊Q₈	2
#2381	2
#2365	2
#2345	2
Q₈×C₂²⋊C₄	2
#2331	2
#2327	2
#2313	2
#2283	2