Subgroups — #34377

Order 256.

1293 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 259 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2379	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#2367	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#2342	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	Q₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	D₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal
7	#2337	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2326	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2315	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2312	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#2283	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#124	C₄	1	16	yes	complemented
16	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#391	C₂²	1	4	yes	complemented
28	#391	C₂²	1	8	yes	complemented
29	#390	C₂²	1	4	yes	—
30	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
31	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
32	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
33	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
34	#386	C₂²	1	8	yes	—
35	#385	C₂²	1	8	yes	complemented
36	#385	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#385	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#384	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#383	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
41	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#381	C₂²	1	2	yes	—
43	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#380	C₂²	1	2	yes	—
45	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#380	C₂²	1	4	yes	—
47	#380	C₂²	1	2	yes	—
48	#379	C₂²	1	4	yes	—
49	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
50	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
51	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
52	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
53	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
54	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
55	#376	C₂²	1	2	yes	complemented
56	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
58	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
59	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
62	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
63	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂³×C₄	C₂³	1	8	yes	—
68	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#124	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
71	#124	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
72	#124	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
73	#124	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
74	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
75	C₄×D₄	—	4	8	no	—
76	#117	—	4	4	no	—
77	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
85	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
86	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
91	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
97	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
100	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	#95	C₂³	1	2	yes	—
105	#95	C₂³	1	2	yes	—
106	#95	C₂³	1	4	yes	—
107	#95	C₂³	1	4	yes	—
108	#95	C₂³	1	8	yes	—
109	#95	C₂³	1	4	yes	—
110	#95	C₂³	1	8	yes	—
111	#95	C₂³	1	4	yes	—
112	#95	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂⁴	—	2	4	no	—
114	C₂⁴	—	2	4	no	—
115	C₂⁴	—	4	4	no	—
116	C₂⁴	—	4	4	no	—
117	C₂⁴	C₂²×C₄	1	8	yes	—
118	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
119	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
120	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
121	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
122	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
123	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
124	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
125	C₂×D₄	—	2	8	no	—
126	C₂×D₄	—	4	16	no	—
127	C₂×D₄	—	4	4	no	—
128	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
129	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
130	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
133	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
134	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
135	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
136	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
137	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
138	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
139	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
140	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
141	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
142	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
143	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
144	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
145	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
151	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
153	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
154	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
155	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
156	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
157	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
158	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
160	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
162	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
163	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
164	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
165	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
166	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
167	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
168	C₄²	—	2	8	no	—
169	C₄²	—	4	4	no	—
170	C₄²	—	4	8	no	—
171	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
172	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
173	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
174	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
175	C₂³	—	2	2	no	—
176	C₂³	—	2	2	no	—
177	C₂³	—	2	4	no	—
178	C₂³	—	2	8	no	—
179	C₂³	—	2	4	no	—
180	C₂³	—	2	8	no	—
181	C₂³	—	2	16	no	—
182	C₂³	—	4	8	no	—
183	C₂³	—	4	8	no	—
184	C₂³	—	8	8	no	—
185	C₂³	—	8	8	no	—
186	C₂³	C₂³×C₄	1	8	yes	—
187	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
188	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
189	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
190	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
191	Q₈	—	2	16	no	—
192	Q₈	—	4	8	no	—
193	D₄	—	2	16	no	—
194	D₄	—	4	8	no	—
195	C₂×C₄	—	2	8	no	—
196	C₂×C₄	—	2	1	no	—
197	C₂×C₄	—	2	8	no	—
198	C₂×C₄	—	2	1	no	—
199	C₂×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄	—	2	1	no	—
201	C₂×C₄	—	2	1	no	—
202	C₂×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂×C₄	—	2	8	no	—
205	C₂×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂×C₄	—	2	8	no	—
208	C₂×C₄	—	2	8	no	—
209	C₂×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₄	—	2	8	no	—
213	C₂×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂×C₄	—	4	8	no	—
216	C₂×C₄	—	8	16	no	—
217	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
218	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
219	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
220	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
221	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
222	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
223	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
224	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
225	C₂²	—	2	2	no	—
226	C₂²	—	2	2	no	—
227	C₂²	—	2	4	no	—
228	C₂²	—	2	4	no	—
229	C₂²	—	2	8	no	—
230	C₂²	—	2	8	no	—
231	C₂²	—	2	8	no	—
232	C₂²	—	4	8	no	—
233	C₂²	—	4	8	no	—
234	C₂²	—	8	16	no	—
235	C₂²	#520	1	4	yes	—
236	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
238	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
239	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
240	C₂²	#585	1	2	yes	—
241	C₄	—	2	2	no	—
242	C₄	—	2	8	no	—
243	C₄	—	2	2	no	—
244	C₄	—	2	2	no	—
245	C₄	—	2	2	no	—
246	C₄	—	2	2	no	—
247	C₄	—	4	8	no	—
248	C₄	—	4	4	no	—
249	C₄	—	4	4	no	—
250	C₄	#518	1	4	yes	—
251	C₂	—	2	4	no	—
252	C₂	—	4	8	no	—
253	C₂	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
254	C₂	C₂×#520	1	1	yes	characteristic
255	C₂	#3428	1	1	yes	characteristic
256	C₂	#3558	1	2	yes	—
257	C₂	#3561	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂³×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2379	C₂	semidirect
3. #2367	C₂	semidirect
4. #2342	C₂	semidirect
5. Q₈×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
7. #2337	C₂	semidirect
8. #2326	C₂	semidirect
9. #2315	C₂	semidirect
10. #2312	C₂	semidirect
11. #2285	C₂	semidirect
12. #2283	C₂	semidirect
15. C₂×#124	C₄	semidirect
20. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
27. #391	C₂²	semidirect
28. #391	C₂²	semidirect
30. #388	C₂²	semidirect
31. #388	C₂²	semidirect
32. #388	C₂²	semidirect
33. #388	C₂²	semidirect
35. #385	C₂²	semidirect
36. #385	C₂²	semidirect
37. #385	C₂²	semidirect
38. #384	C₂²	semidirect
39. #383	C₂²	semidirect
40. #382	C₂²	semidirect
41. #382	C₂²	semidirect
49. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
50. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
51. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
54. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
55. #376	C₂²	semidirect
58. C₂²×Q₈	C₂×C₄	semidirect
70. #124	C₂×C₄	semidirect
71. #124	C₂×C₄	semidirect
72. #124	C₂×C₄	semidirect
73. #124	C₂×C₄	semidirect
84. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
85. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
96. C₂×C₄²	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#124	2
#2379	2
#2367	2
#2342	2
Q₈×C₂²⋊C₄	2
D₄×C₂²⋊C₄	2
#2337	2
#2326	2
#2315	2
#2312	2
#2285	2
#2283	2