Subgroups — #34391

Order 256.

1229 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 375 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#525	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2375	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#2363	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2362	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2357	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2353	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2347	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#2346	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#2341	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#2339	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#2335	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#2324	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2323	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2319	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	#2318	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
16	#2280	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
17	#2280	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#525	C₄	1	16	yes	complemented
21	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
28	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#390	C₂²	1	4	yes	—
36	#390	C₂²	1	4	yes	—
37	#390	C₂²	1	4	yes	—
38	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
41	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#388	C₂²	1	4	yes	—
43	#388	C₂²	1	4	yes	—
44	#388	C₂²	1	4	yes	—
45	#388	C₂²	1	4	yes	—
46	#388	C₂²	1	4	yes	—
47	#388	C₂²	1	4	yes	—
48	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#386	C₂²	1	4	yes	—
53	#386	C₂²	1	4	yes	—
54	#386	C₂²	1	4	yes	—
55	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#383	C₂²	1	2	yes	complemented
57	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
58	#381	C₂²	1	2	yes	—
59	#381	C₂²	1	1	yes	characteristic
60	#381	C₂²	1	1	yes	characteristic
61	#381	C₂²	1	2	yes	complemented
62	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
63	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
64	#380	C₂²	1	2	yes	—
65	#380	C₂²	1	2	yes	—
66	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
67	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
68	#380	C₂²	1	2	yes	complemented
69	#379	C₂²	1	2	yes	—
70	#379	C₂²	1	2	yes	—
71	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
72	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
73	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
74	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
75	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
76	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
77	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
78	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
79	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
80	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
81	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
82	#376	C₂²	1	2	yes	complemented
83	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	complemented
84	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×#41	—	4	4	no	—
86	C₂×#41	C₂×C₄	1	8	yes	—
87	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
93	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
94	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	#123	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
103	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
104	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
105	#121	C₂×C₄	1	8	yes	—
106	#121	C₂×C₄	1	8	yes	—
107	#120	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
108	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
109	C₄×D₄	—	4	4	no	—
110	C₄×D₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
111	C₄×D₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
112	#117	—	4	4	no	—
113	#117	—	4	4	no	—
114	#117	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
151	#95	C₂³	1	1	yes	characteristic
152	#95	C₂³	1	2	yes	—
153	#95	C₂³	1	4	yes	—
154	#95	C₂³	1	1	yes	characteristic
155	#95	C₂³	1	4	yes	—
156	#95	C₂³	1	1	yes	characteristic
157	#95	C₂³	1	2	yes	—
158	#95	C₂³	1	2	yes	—
159	#95	C₂³	1	1	yes	characteristic
160	#95	C₂³	1	2	yes	—
161	#95	C₂³	1	4	yes	—
162	#95	C₂³	1	4	yes	—
163	#95	C₂³	1	4	yes	—
164	#95	C₂³	1	4	yes	—
165	#95	C₂³	1	4	yes	—
166	C₂⁴	—	4	2	no	—
167	C₂⁴	—	4	1	no	—
168	C₂⁴	—	4	2	no	—
169	C₂⁴	—	4	1	no	—
170	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
171	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
172	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
173	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
174	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
175	#41	—	4	16	no	—
176	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
177	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
178	C₂×D₄	—	2	4	no	—
179	C₂×D₄	—	4	2	no	—
180	C₂×D₄	—	4	4	no	—
181	C₂×D₄	—	4	2	no	—
182	C₂×D₄	—	4	4	no	—
183	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
184	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
185	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
186	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
198	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
218	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
219	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
220	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
221	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
222	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
223	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
224	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
225	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
226	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
227	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
228	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
229	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
243	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
244	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
245	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
246	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
247	C₄²	—	2	4	no	—
248	C₄²	—	2	4	no	—
249	C₄²	—	4	4	no	—
250	C₄²	—	4	4	no	—
251	C₄²	—	4	4	no	—
252	C₄²	—	4	4	no	—
253	C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
254	C₂³	—	2	2	no	—
255	C₂³	—	2	2	no	—
256	C₂³	—	2	4	no	—
257	C₂³	—	2	2	no	—
258	C₂³	—	2	2	no	—
259	C₂³	—	2	1	no	—
260	C₂³	—	2	1	no	—
261	C₂³	—	2	2	no	—
262	C₂³	—	2	2	no	—
263	C₂³	—	2	1	no	—
264	C₂³	—	2	1	no	—
265	C₂³	—	2	4	no	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	—	2	1	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	1	no	—
270	C₂³	—	4	4	no	—
271	C₂³	—	4	4	no	—
272	C₂³	—	4	4	no	—
273	C₂³	—	4	8	no	—
274	C₂³	—	4	8	no	—
275	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
276	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
277	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
278	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
279	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
280	Q₈	—	2	8	no	—
281	D₄	—	2	8	no	—
282	D₄	—	4	8	no	—
283	D₄	—	4	8	no	—
284	D₄	—	4	8	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	8	no	—
293	C₂×C₄	—	2	8	no	—
294	C₂×C₄	—	2	8	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	8	no	—
317	C₂×C₄	—	8	8	no	—
318	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
326	C₂²	—	2	2	no	—
327	C₂²	—	2	2	no	—
328	C₂²	—	2	2	no	—
329	C₂²	—	2	4	no	—
330	C₂²	—	2	2	no	—
331	C₂²	—	2	2	no	—
332	C₂²	—	2	4	no	—
333	C₂²	—	2	4	no	—
334	C₂²	—	2	2	no	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	2	2	no	—
337	C₂²	—	2	2	no	—
338	C₂²	—	4	16	no	—
339	C₂²	—	4	4	no	—
340	C₂²	—	4	2	no	—
341	C₂²	—	4	2	no	—
342	C₂²	—	4	2	no	—
343	C₂²	—	4	4	no	—
344	C₂²	—	4	2	no	—
345	C₂²	—	4	2	no	—
346	C₂²	—	4	2	no	—
347	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
349	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	#585	1	2	yes	—
351	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
352	C₄	—	2	2	no	—
353	C₄	—	2	2	no	—
354	C₄	—	2	2	no	—
355	C₄	—	2	4	no	—
356	C₄	—	2	4	no	—
357	C₄	—	2	4	no	—
358	C₄	—	4	2	no	—
359	C₄	—	4	2	no	—
360	C₄	—	4	4	no	—
361	C₄	—	4	2	no	—
362	C₄	—	4	4	no	—
363	C₄	—	4	2	no	—
364	C₄	#518	1	4	yes	—
365	C₂	—	4	4	no	—
366	C₂	—	4	2	no	—
367	C₂	—	4	2	no	—
368	C₂	—	4	2	no	—
369	C₂	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
370	C₂	#3428	1	1	yes	characteristic
371	C₂	#3428	1	1	yes	characteristic
372	C₂	#3539	1	2	yes	—
373	C₂	#3540	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂×#525	C₂
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2375	C₂	semidirect
3. #2363	C₂	semidirect
4. #2362	C₂	semidirect
5. #2357	C₂	semidirect
6. #2353	C₂	semidirect
7. #2347	C₂	semidirect
8. #2346	C₂	semidirect
9. #2341	C₂	semidirect
10. #2339	C₂	semidirect
11. #2335	C₂	semidirect
12. #2324	C₂	semidirect
13. #2323	C₂	semidirect
14. #2319	C₂	semidirect
15. #2318	C₂	semidirect
16. #2280	C₂	semidirect
17. #2280	C₂	semidirect
20. #525	C₄	semidirect
27. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
30. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
34. #391	C₂²	semidirect
38. #390	C₂²	semidirect
39. #389	C₂²	semidirect
40. #389	C₂²	semidirect
41. #389	C₂²	semidirect
48. #388	C₂²	semidirect
49. #388	C₂²	semidirect
50. #387	C₂²	semidirect
51. #387	C₂²	semidirect
55. #385	C₂²	semidirect
56. #383	C₂²	semidirect
57. #382	C₂²	semidirect
61. #381	C₂²	semidirect
68. #380	C₂²	semidirect
71. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
72. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
73. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
74. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
80. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
81. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
82. #376	C₂²	semidirect
83. C₂×#95	C₂²	semidirect
93. C₂³×C₄	C₂×C₄	semidirect
102. #123	C₂×C₄	semidirect
103. C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
104. C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
107. #120	C₂×C₄	semidirect
110. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
111. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
114. #117	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#525	2
#2375	2
#2363	2
#2362	2
#2357	2
#2353	2
#2347	2
#2346	2
#2341	2
#2339	2
#2335	2
#2324	2
#2323	2
#2319	2
#2318	2
#2280	2