Subgroups — #34396

Order 256.

1243 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 337 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#525	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2378	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2377	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2359	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2357	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2353	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2343	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2339	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2333	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2332	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2321	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#2319	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2318	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2280	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂×#381	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#525	C₄	1	16	yes	complemented
19	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
31	#391	C₂²	1	4	yes	complemented
32	#390	C₂²	1	4	yes	—
33	#390	C₂²	1	4	yes	—
34	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
35	#388	C₂²	1	4	yes	—
36	#388	C₂²	1	4	yes	—
37	#388	C₂²	1	4	yes	—
38	#388	C₂²	1	4	yes	—
39	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#386	C₂²	1	4	yes	—
46	#386	C₂²	1	4	yes	—
47	#386	C₂²	1	4	yes	—
48	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#385	C₂²	1	4	yes	—
50	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#383	C₂²	1	2	yes	complemented
52	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
53	#381	C₂²	1	1	yes	characteristic
54	#381	C₂²	1	1	yes	characteristic
55	#381	C₂²	1	2	yes	—
56	#381	C₂²	1	2	yes	—
57	#381	C₂²	1	2	yes	—
58	#381	C₂²	1	2	yes	—
59	#381	C₂²	1	2	yes	complemented
60	#380	C₂²	1	2	yes	—
61	#380	C₂²	1	2	yes	—
62	#380	C₂²	1	2	yes	complemented
63	#379	C₂²	1	2	yes	—
64	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
65	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
66	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
67	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
68	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
69	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
70	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
71	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
72	#376	C₂²	1	2	yes	complemented
73	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
74	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
75	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	complemented
76	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×#41	—	4	4	no	—
78	C₂×#41	C₂×C₄	1	8	yes	—
79	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
85	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
86	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	#123	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
96	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
97	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
98	#121	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
99	#121	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
100	#120	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
101	C₄×D₄	—	4	8	no	—
102	C₄×D₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
103	C₄×D₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
104	#117	—	4	4	no	—
105	#117	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
135	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
136	#95	C₂³	1	2	yes	—
137	#95	C₂³	1	2	yes	—
138	#95	C₂³	1	4	yes	—
139	#95	C₂³	1	2	yes	—
140	#95	C₂³	1	4	yes	—
141	#95	C₂³	1	2	yes	—
142	#95	C₂³	1	2	yes	—
143	#95	C₂³	1	4	yes	—
144	#95	C₂³	1	4	yes	—
145	#95	C₂³	1	2	yes	—
146	#95	C₂³	1	4	yes	—
147	#95	C₂³	1	4	yes	—
148	#95	C₂³	1	4	yes	—
149	#95	C₂³	1	4	yes	—
150	#95	C₂³	1	4	yes	—
151	C₂⁴	—	2	4	no	—
152	C₂⁴	—	4	2	no	—
153	C₂⁴	—	4	2	no	—
154	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
155	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
156	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
157	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
158	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	#41	—	4	16	no	—
160	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
161	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
162	C₂×D₄	—	2	8	no	—
163	C₂×D₄	—	4	2	no	—
164	C₂×D₄	—	4	4	no	—
165	C₂×D₄	—	4	2	no	—
166	C₂×D₄	—	4	2	no	—
167	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
168	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
169	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
170	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
171	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
185	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
203	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
204	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
205	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
206	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
207	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
208	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
209	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
210	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
211	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
215	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
216	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
217	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
219	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
222	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
223	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
224	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
225	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
226	C₄²	—	4	4	no	—
227	C₄²	—	4	4	no	—
228	C₄²	—	4	2	no	—
229	C₄²	—	4	2	no	—
230	C₄²	—	4	4	no	—
231	C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
232	C₂³	—	2	2	no	—
233	C₂³	—	2	2	no	—
234	C₂³	—	2	8	no	—
235	C₂³	—	2	2	no	—
236	C₂³	—	2	2	no	—
237	C₂³	—	2	4	no	—
238	C₂³	—	2	2	no	—
239	C₂³	—	2	2	no	—
240	C₂³	—	2	2	no	—
241	C₂³	—	2	4	no	—
242	C₂³	—	2	2	no	—
243	C₂³	—	2	2	no	—
244	C₂³	—	2	2	no	—
245	C₂³	—	4	4	no	—
246	C₂³	—	4	4	no	—
247	C₂³	—	4	16	no	—
248	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
249	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
250	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
251	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
252	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
253	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
254	Q₈	—	4	4	no	—
255	D₄	—	2	16	no	—
256	D₄	—	4	8	no	—
257	D₄	—	4	8	no	—
258	D₄	—	4	4	no	—
259	C₂×C₄	—	2	8	no	—
260	C₂×C₄	—	2	8	no	—
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	4	4	no	—
282	C₂×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂×C₄	—	4	4	no	—
284	C₂×C₄	—	4	4	no	—
285	C₂×C₄	—	4	8	no	—
286	C₂×C₄	—	8	8	no	—
287	C₂×C₄	—	8	8	no	—
288	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
291	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
294	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
295	C₂²	—	2	2	no	—
296	C₂²	—	2	2	no	—
297	C₂²	—	2	8	no	—
298	C₂²	—	2	2	no	—
299	C₂²	—	2	2	no	—
300	C₂²	—	2	4	no	—
301	C₂²	—	2	2	no	—
302	C₂²	—	2	2	no	—
303	C₂²	—	2	4	no	—
304	C₂²	—	2	4	no	—
305	C₂²	—	2	2	no	—
306	C₂²	—	2	2	no	—
307	C₂²	—	4	16	no	—
308	C₂²	—	4	4	no	—
309	C₂²	—	4	4	no	—
310	C₂²	—	4	4	no	—
311	C₂²	—	4	4	no	—
312	C₂²	#518	1	4	yes	—
313	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
315	C₂²	#585	1	2	yes	—
316	C₂²	#585	1	2	yes	—
317	C₄	—	2	2	no	—
318	C₄	—	2	2	no	—
319	C₄	—	2	2	no	—
320	C₄	—	2	2	no	—
321	C₄	—	2	4	no	—
322	C₄	—	2	4	no	—
323	C₄	—	2	4	no	—
324	C₄	—	4	4	no	—
325	C₄	—	4	4	no	—
326	C₄	—	4	4	no	—
327	C₄	—	4	4	no	—
328	C₂	—	2	4	no	—
329	C₂	—	4	4	no	—
330	C₂	—	4	2	no	—
331	C₂	—	4	2	no	—
332	C₂	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
333	C₂	#3428	1	1	yes	characteristic
334	C₂	#3428	1	1	yes	characteristic
335	C₂	#3533	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂×#525	C₂
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2378	C₂	semidirect
3. #2377	C₂	semidirect
4. #2359	C₂	semidirect
5. #2357	C₂	semidirect
6. #2353	C₂	semidirect
7. #2343	C₂	semidirect
8. #2339	C₂	semidirect
9. #2333	C₂	semidirect
10. #2332	C₂	semidirect
11. #2321	C₂	semidirect
12. #2319	C₂	semidirect
13. #2318	C₂	semidirect
14. #2280	C₂	semidirect
15. C₂×#381	C₂	semidirect
18. #525	C₄	semidirect
31. #391	C₂²	semidirect
34. #389	C₂²	semidirect
39. #388	C₂²	semidirect
40. #388	C₂²	semidirect
41. #387	C₂²	semidirect
42. #387	C₂²	semidirect
43. #387	C₂²	semidirect
44. #387	C₂²	semidirect
48. #386	C₂²	semidirect
50. #385	C₂²	semidirect
51. #383	C₂²	semidirect
52. #382	C₂²	semidirect
59. #381	C₂²	semidirect
62. #380	C₂²	semidirect
64. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
65. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
70. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
71. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
72. #376	C₂²	semidirect
75. C₂×#95	C₂²	semidirect
85. C₂³×C₄	C₂×C₄	semidirect
95. #123	C₂×C₄	semidirect
96. C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
97. C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
98. #121	C₂×C₄	semidirect
99. #121	C₂×C₄	semidirect
100. #120	C₂×C₄	semidirect
102. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
103. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
105. #117	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#525	2
#2378	2
#2377	2
#2359	2
#2357	2
#2353	2
#2343	2
#2339	2
#2333	2
#2332	2
#2321	2
#2319	2
#2318	2
#2280	2
C₂×#381	2